Операции над событиями

Операции над событиями аналогичны операциям над множествами.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Разностью двух событий А – В называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Классическое определение вероятности

Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.

Вероятность обозначается буквой Р (probability (англ.) – вероятность).

Классическое определение вероятности: Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A;

n – число всех возможных элементарных исходов.

Свойства вероятности

1. Вероятность случайного события А находится между 0 и 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Задача 10. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбраны 3 фрукта. Какова вероятность того, что все три фрукта – апельсины?

Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3 фрукта. Поскольку порядок здесь безразличен, будем считать выборки неупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 элемента из 9, то есть числу сочетаний . Число благоприятных исходов равно числу способов выбора 3 апельсинов из имеющихся пяти, то есть числу сочетаний . Тогда вероятность

.

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятностью появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Следствие 1: Вероятность событий, образующих полную группу, равна единице:

.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий также равна единице:

.

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается .

Следствие 3: Если А и В – независимые события, то

.

Задача 11. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Наугад вынуты две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы окажутся одноцветными?

Решение. Событие А = {вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в виде суммы А = А₁ + А₂ , где А₁ и А₂ означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вынуть две красные пуговицы равна , а вероятность того же для двух синих пуговиц равна . Поскольку события А₁ и А₂ не могут произойти одновременно, в силу сложения имеем

.

Задача 12. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,65, а второго 0,6. Определить вероятность поражения мишени при одновременных выстрелах двух стрелков.

Решение. Так как при стрельбе возможно попадание в мишень двумя стрелками, то эти события совместные, следовательно,