Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равна алгебраической сумме их математических ожиданий:

.

Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если распределение одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю:

Другой характеристикой центра распределения является срединная точка, или медиана. Медиана Ме равна такому значению случайной величины, которое делит пополам площадь под кривой плотности распределения.

Медиана менее чувствительна, чем математическое ожидание к небольшому числу крайних значений.

Части применяется еще одна характеристика положения – мода случайной величины.

Мода – это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. Однако это определение подходит только для одномодальных распределений. В общем случае мода – это такое значение случайно величины, что предшествующие и последующие за ними значения имеют меньшие вероятности.

В случае симметричного одномодального распределения математическое ожидание совпадает с модой и медианой.

Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) называют дисперсией случайной величины Х и обозначают D(Х), т.е.

Для дискретных случайных величин эту формулу можно записать в следующем виде:

Для непрерывных случайных величин с плотностью вероятности f(x):

На рисунке приведены графики плотности распределения случайных величин с одинаковыми значениями математического ожидания, но различными дисперсиями. Следует отметить, что

Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и ее неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднеквадратическое отклонение. Эта величина дает представление о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания.

Основные свойства дисперсии

1. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е.

3. Постоянный множитель С случайной величины Х можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат, т.е.

4. Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, т.е.

.

Последняя формула более удобна для вычислений.

Задача 20. Пусть случайная величина имеет следующий закон распределения:

Х	–1	0	2
Р	1/4	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение. По определению математическое ожидание равно

.

Далее, , поэтому

.

Среднеквадратичное отклонение .