2) Второй признак сравнения.

Если сущ. конечный и отличный от 0 предел , то оба ряда сход. или расх. одноврем.

-ряды такого вида расх. по второму призн. сравнения. Их надо сравн с гармонич.рядом.

5.Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда (а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= ) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

6. Признак Коши (радикальный).

Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

7. Интегральный признак Коши. Исследование сходимости ряда .

Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= - знакоположительный ряд.

Обозначим a_n=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

8. Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость.

Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

(1)

Знакочередующийся ряд (1) называется сходящимся абсолютно если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов. Если ряд (1) сходится, а ряд составленный из абсолютных величин расходится, то говорят что этот ряд сходится условно.

. Признак Лейбница.

Пусть для знакочередующегося ряда выполнены условия:

1. последовательность является невозрастающей, т. е. ;

Тогда ряд сходится.

Теорема Лейбница позволяет оценить количество слогаемых знакочередующегося ряда, которые нужно сложить чтобы получить его сумму с заданной точностью.

- сходится,

9) Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременного ряда.

Рассмотрим знакопеременный ряд (1)

Пусть сходиться знакоположительный ряд составленный из модулей членов ряда (1), тогда ряд (1) также сходиться.

(такая сходимость одновременно с знакоположительным рядом из модулей называется абсолютной). Следовательно ряд (1) сходится абсолютно.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходиться.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходиться, а ряд, составленный из модулей его членов, расходиться

10. Функциональные ряды. Область сходимости…

Рассмотрим функциональный ряд:

(1)

где - функции, определенные на некотором множестве А. Придавая х определенные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений х, при которых функциональный ряд (1) сходится, называют областью сходимости ряда.

Функциональный ряд (1) называется мажорируемым на [a, в] если существует такой сходящийся числовой ряд , что для всех выполняются:

15. Интервал сходимости степенного ряда. Степенным рядом называется выражение: (1)

Те значения х при которых ряд (1) сходится называются областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно при любом значении .

2. Если ряд (1) расходится при некотором значении , то он расходится при любом

16 Вывод формулы радиуса:

Для этого рассмотрим абсолютный ряд . Для каждого фиксированного х применим к абсолютному ряду признак Даламбера:

Пусть . Тогда по признаку Даламбера абсолютный ряд сходится, если , и расходится при . Следовательно исходный ряд сходится абсолютно при и расходится при . Т. о. число L является радиусом сходимости, т. е.

17. Свойства степенных рядов. Абсолютная сходимость, интегрируемость и дифференцируемость.

Свойства:

1) Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .

2) Ряд (2) полученный почленным дифференцированием ряда (1), является степенным рядом с тем же, что и ряд (1), интервалом сходимости . Сумма ряда (2) .

3) Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (1). Тогда имеет место равенство:

Теорема Абеля.

3. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно при любом значении .

4. Если ряд (1) расходится при некотором значении , то он расходится при любом

18. Ряд Тейлора и Маклорена.

Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

При получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

36. Производная функции компл. переменной. Условия Коши-Римана.

называется функцией комплексного переменного если одному допустимому значению z поставлено в соответствие одно, несколько или бесконечное множество значений W.

Определение.

Пусть - функция комплексной переменной, определенная в -окрестности точки , и существует предел (1)

Тогда этот предел называется производной функции в точке ; при этом функция называется дифференцируемой в точке .

Условия Коши-Римана.

Пусть у функции вещественная и мнимая части дифференцируемы как функции двух переменных, тогда, для того, чтобы эта функция была дифференцируема как функция комплексного переменного необходимо и достаточно выполнение условий:

24) Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

25) Четные и нечетные функции.

Л.1: Если — четная функция на то

 если — нечетная функция на 

Для четных функций

Для нечетной функции доказательство аналогично Л.2: Произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная функция, четной и нечетной — нечетная функция   - четные функции

Остальное доказывается аналогично

С помощью лемм 1, 2 получаем следующие коэффициенты Фурье:

— для четной функции:

— для нечетной функции:

Таким образом, ряд Фурье для четной функции

для нечетной функции

.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

26)Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,