40. Теоремы Коши для односвязной и для многосвязной областей.

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: . Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1, L2, …, Lk, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.

42. Интегральные формулы Коши для фкп: прямая и обобщенная.

Если функция аналитическая в , и - контур, охватывающий точку , то

, . (10)

Формула(10) показывает, что значения аналитической ФКП внутри контура определяются значениями функций на самом контуре. Например, если ФКП f(z₀) на (y) равна нулю (или, вообще, одному и тому же постоянному числу c), то, как следует из (10), f(z)=0 (илиf(z)=c ) во всех точках внутри контура(y) . Действительнозначные дифференцируемые функции в действительной области подобным свойством не обладают. Например, – определена и непрерывна внутри и на границе круга . На контуре эта функция f(x,y) равна нулю, но в любой внутренней точке круга .