17. Прямая на плоскости.

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость.

Так как формулы (11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

11.1

11.3

11.4 условие перпендикулярности плоскостей: 11.5 условие параллельности плоскостей 11.6 расстояние от точки до плоскости определяется по формуле 11.7

если прямая имеет уравнение , то расстояние от точки до этой прямой получается из формулы  отбрасыванием третьей координаты :

Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом , хорошо известное по школьному курсу математики.

        Предложение 11.2   Пусть заданы две прямые и , ( ). Тогда, если , то угол между этими прямыми можно найти из формулы

(11.10)

Если , то прямые перпендикулярны.

        Доказательство.     Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Из рис. 11.10 видно, что .

Рис.11.10.Угол между прямыми

Так как , , то при выполняется равенство

что дает формулу (11.10).

Если же , то , откуда

Следовательно, и .     

18. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Рас-ние от точки до прямой.

Пусть даны точка М(Х0; У0) и прямая Ax+By+c=0. Под рас-нием от М до прямой АВ понимается длина перпендик-раd=MN, опущенного из т.М на прямую АВ. Для опред-ния расстояния d нужно:а)составить уравнение прямой MN,перендик-ной данной и проходящий ч/з т. М0(Х0;У0); б)найти т N(x1;y1)пересеч-ния прямых, ршивсис-мууравн этих прямых; в)по формуле

Находим d=MN.

В рез-те получим:

Угол между прямыми.

Пусть заданы 2 прям

И треб-ся определить угол м/у ними. причем , , ,

Тогда

Условия параллельности и перпендик-типрямых.

Равенство угловых коэф-товявл-ся необходимым и достаточным условием парал-ти двух прямых.

Для перпендик-ти прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэф-ты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

. Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.