20. Плоскость. Частные случаи расположения плоскости.

Плоскость - простейшая поверхность (1-го порядка)

Плоскость, у которой углы наклона к плоскостям проекций произвольны (не равны 0 или 90 ), называют плоскостью общего положения.

Частные случаи расположения плоскостей.

1. A·x + B·y + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси oz. На координатной плоскости ХУ уравнение плоскости представляет уравнение её следа.

2.A·x + C·z + D = 0 - уравнение плоскости, параллельной оси ОY. На координатной плоскости ОXZ уравнение плоскости представляет уравнение её следа.

3.B·y + C·z + D = 0 - плоскость параллельна оси OX. На координатной плоскости ОYZ представляет уравнение её следа.

4.A·х + B·у + C·z = 0 – плоскость проходит через начало координат, т.к. x = 0, y = 0, z = 0 удовлетворяет уравнению плоскости и все следы плоскости проходят через начало координат.

 Пример. Даны две плоскости 2·x+3·y + 6=0 и 4·x + 8·z − 12 = 0. Построить плоскости и найти линию пересечения этих плоскостей

Указание: линия пересечения двух плоскостей проходит через точки пересечения соответствующих следов.

21. Взаимное расположение плоскостей.

Для расположения двух плоскостей в пространстве возможны два случая:

1) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, тогда по аксиоме пересечения плоскостей их пересечение - есть прямая; такие плоскости называются пересекающимися.

2) Две плоскости не имеют общих точек; такие плоскости называются параллельными.

Р ассмотрим частный случай пересекающихся плоскостей - перпендикулярные плоскости.

Пусть две плоскости  и  пересекаются по прямой с. Возьмем любую их общую точку О. Проведем черезО в плоскостях  и  прямые а и b, перпендикулярные

прямой с. Если окажется, что , то плоскости α и  β называют взаимно перпендикулярными.

Свойства взаимно перпендикулярных п лоскостей:

1) Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.

2 ) Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.       

П ризнаки перпендикулярности плоскостей:

1) Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

2 ) Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Признаки параллельности плоскостей, теорема о параллельных плоскостях

Для расположения двух плоскостей в пространстве возможны два случая:

1) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, тогда по аксиоме пересечения плоскостей их пересечение - есть прямая; такие плоскости называются пересекающимися.

2) Две плоскости не имеют общих точек; такие плоскости называются параллельными.

Т-ма. Первый признак парал-ти плоскостей. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

О сновная теорема о параллельных плоскостях. Через каждую точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.

Следствия:

1) Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую из них.

2) Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.

Т-ма. Второй признак парал-ти плоскостей. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти две плоскости параллельны.