Скалярное и векторное произведения векторов. Нормирование вектора. Скалярное произведение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Скаля́рное произведе́ние (в зарубежной литературе - scalar product, dot product, inner product ) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
,
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
.
Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть
для
всех
.
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.
Векторное произведение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Векторное произведение в трёхмерном пространстве.
Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».
Нормирование вектора normalize <point3> Нормирование или нормализация вектора - операция над вектором, возвращающая вектор того же направления, но единичной длины (длина равна 1). Вектор единичной длины соответственно называется нормированным или нормализованным.
Функция одной переменной. Способы задания функции. Основные элементарные функции и их графики.
Понятие функции одной переменной
Определение 1. Если каждому значению
х числового множества X по правилу f
соответствует единственное число
множества Y, то говорят, что на числовом
множестве X задана функция у = f(x), x
|
X.
В
этом случае х называется аргументом,
у - значением функции. Множество X
называется областью определения
функции, Y - множеством значений
функции.
Часто задают это правило
формулой; например, у = 2х + 5 или
.
Указанный способ задания функции при
помощи формулы называется
аналитическим.
Определение 2.
Графиком функции у — f(x) называется
множество точек плоскости, координаты
х, у которых удовлетворяют соотношению
у = f(x).
Четность и
нечетность
Определение 3.
Функция у = f(x) называется четной, если
она обладает следующими двумя
свойствами:
1) область определения
этой функции симметрична относительно
начала координат О;
2) для любого
значения х, принадлежащего области
определения этой функции, выполняется
равенство f(-x) = f(x).
Определение
4. Функция у = f(x) называется нечетной,
если:
1) область определения этой
функции симметрична относительно
точки О;
2) для любого значения х,
принадлежащего области определения
этой функции, выполняется равенство
f(-х) = -f(x).
График четной функции
симметричен относительно оси Оу,
график нечетной функции симметричен
относительно начала координат О(0; 0).
Функция, не являющаяся ни четной, ни
нечетной, называется функцией общего
вида.
Определение 5. Функция у =
f(x) называется периодической, если
существует такое число Т > 0, что для
каждого значения х из области определения
этой функции х + Т и х - Т также принадлежат
области определения и выполняется
равенство f(x + Т) = f(x). Число Т называется
периодом функции. Очевидно, что f(x +
nТ) = f(x), где n
Z.