3. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

n n

P ( ∑ Ai ) = ∑ P(Ai)

i=1 i=1

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыт.

Теорема. Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+ B) = P(A)+ P(B)- P(AB)

Для трех событий А, В и С имеем: P(A+ B +C) = P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC)

Замечание. В случае трех и большего числа событий для нахождения вероятности суммы

S этих событий проще найти вероятность противоположного события S , а затем воспользоваться равенством P(S ) =1- P(S ).

4. Полная группа событий, противоположные события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

*Условная вероятность

Пусть А и В – некоторые события , при чем P(B) > 0

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А, найденная при условии, что событие В произошло.

P (A) = (P(AB)) / P(B)

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А

P (B) = (P(AB)) / P(A) (P(A)≠0) или P(B/A) = (P(AB)) / P(A)

* Теорема (правило умножения вероятностей)

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

P(AB) = P(A) *P (B) = × или P(AB) = P(B) * P (A)

A B

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

P (ABC… LM) = P(A) * P (B) * P (C) … P (M)

A AB AB..L

*Противоположные события

Событие А влечет событие В, если из того, что происходит событие А следует наступление события В А ∩ В

Противоположным событию А называется А , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

*Полная группа событий

Полной группой событий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

5. вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Доказательство

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. (**)

6. Формула полной вероятности.. Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,