37. Понятие конформного отображения.

Отображ. наз. конф. в т. z0, если:

1) при этом отображ. сохран. углы м\д люб. двумя кривыми, проход. через z0.

2) растяжение в т. z0 не зависит от направления.

Если конф. отображ. сохран. и направление отсчета углов, то оно наз. конф. отображ. первого рода. Если направл. отсчета углов меняется на противоположное, то конф. отображ. наз. отображ. второго рода.

Теорема1. Если ф-ция w=f(z) явл. аналит. в т. z0 и w=f(z)≠0, то f(z) осущ. конф. отображ. первого рода в т. z0 при этом аргумент Arg f `(z0) означает угол поворота, а |f `(z0)| коэф. растяжения при данном отображении.

Конформные отображения.

Ф-ция w=f(z) наз. однолистной в обл. Д, если в разных точках обл. Д эта ф-ция принимает разные значения: если z1≠z2, то f(z1)≠f(z2). Пусть ф-ция f(z) отображ. обл. Д на бол. Е. Однолистность означает, что люб. т. w из Е имеет только один прообраз в Д, поэтому отображ. обл. Д на бол. Е, осуществляемое однолистной ф-цией w=f(z) явл. взаимно однозначным : каждой т z из Д соотв. т. w из Е и наоборот, каждой т. w из Е соотв. единственный прообраз z из Д.

Например w=z² не явл. однолистной во всей компл. пл-сти С, т.к. (-1)²=1², но она явл. однолистной в полупл-сти Д={z:Rez>0}. Отображ. области Д на обл. Е наз. конформным, если оно непрерывно и конформно в люб. точки обл. Д.

Из теоремы1. {Теорема1. Если ф-ция w=f(z) явл. аналит. в т. z0 и w=f(z)≠0, то f(z) осущ. конф. отображ. первого рода в т. z0 при этом аргумент Arg f `(z0) означает угол поворота, а |f `(z0)| коэф. растяжения при данном отображении} следует, что если ф-ция f(z) аналитична в обл. Д и f `(z) не обращ. в нуль ни в одной точке из Д, то эта ф-ция осущ. конформное отображ. обл. Д.

38. Криволинейный интеграл

 — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства  , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Пусть   — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

   — (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть   — разбиение отрезка параметризации  , причем  .

Зададим разбиение кривой  .

За   обозначим часть кривой от точки   до точки  ,  .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации  :  .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации  :  .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой  .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой  :  ,  ,  ,  .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если  , то говорят, что функция   интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой  , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции   по кривой   и обозначают  . Здесь   — дифференциал кривой.

Если  ,  ,  , то говорят, что функции  ,   и   интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой  , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций  ,   и   по кривой   и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций  ,   и   также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции   и обозначают:

.

Если кривая   замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка   принято писать  .

Точка ветвления или особая точка многозначного характера— особая точка полной аналитической функции, такая, что аналитическое продолжение какого-либо элемента этой функции вдоль замкнутого пути, охватывающего эту точку, приводит к новым элементам этой функции.

Точки ветвления могут быть разделены на две категории:

1. Если при  –кратном обходе указанного пути мы вновь получим исходный элемент, тогда данная точка называется точкой ветвления конечного порядка (а именно порядка  );

2. Если такого не происходит, то точка будет точкой ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой ветвления

Из теоремы Пуанкаре — Вольтерры прямо следует, что данными двумя случаями варианты точек ветвления исчерпываются.