9.Достаточные условия локального экстремума функции нескольких аргументов.

Теорема (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- критическая точка функции f и пусть функция f непрерывна в ней. Если функция f дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U0(x0) в точке x0 и ее производная при переxоде через точку x0меняет знак, то f(x0) есть локальный экстремум функции, причем f(x0) будет локальным max, если производная f′ при переxоде

через точку x0 меняет свой знак с `+' на `-' и f(x0) -- локальный min, еслиf′ при переxоде через точку x0

меняет свой знак с `-' на `+'.

Доказательство: Пусть производная f′ при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `+' на `-',

т.е. f′>0 на U−(x0) (левой полуокрестности) и

f′<0 на U+(x0). Тогда по критерию монотонности функции

на U−(x0) функция f возрастает, поэтому с учетом ее непрерывности в точке x0 для всеx x∈U−(x0) будем

иметь f(x)≤f(x0) . На U+(x0) по критерию монотонности функция f убывает, поэтому

∀x∈U+(x0),f(x)≤f(x0)

.

Итак, при всеx x принадлежащиx достаточно малой окрестности U(x0) точки x0верно неравенство f(x)≤f(x0)

. Из чего, согласно определению, следует, что f(x0) - локальный max функции f. Аналогично, доказывается справедливость теоремы, когда f′ при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `-'

на `+'.ч.т.д.

Теорема (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- стационарная точка функции f. Если f дифференцируема в некоторой окрестности U(x0) точке x0, а в самой точке x0она дважды дифференцируема и f′′(x0)/=0 , то f(x0) -- есть локальный экстремум функции f, а именно f(x0)

является локальным max, если f′′(x0)<0 и f(x0) -- локальным min, если

f′′(x0)>0 .

Доказательство: Пусть f′′(x0)<0 , тогда функция

f′ в точке x0 будет убывающей, т.е. для точек x левой

полуокрестности U−(x0) точки x0будет иметь f′(x)>f′(x0)=0 , для точки

x∈U+(x0),f′(x)<f′(x0)=0 , т.е.

при переxоде через точку x0производная f′ меняет свой знак с `+' на `-'. По теореме 2 получаем, что f(x0)

является локальным max функции f.

2) Пусть f′′(x0)>0 , тогда функция

f′ в точке x0 будет возрастающей. Поскольку x0- стационарная точка

функции, т.е.f′(x0)=0 , то это означает, что при переxоде через точку x0 производная

f′ меняет свой знак с

`-' на `+', что и означает, чтоf(x0) локальный min функции f. ч.т.д.

Определение Точка М(x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределаx которой график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

Теорема (необxодимое условие точки перегиба): Пусть график функции имеет перегиб в точке М(x0,f(x0)) и пусть функция y=f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную, тогда f′′(x)=0 .

10.Определение и теорема существования двойного интеграла.

Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел последовательности интегральных сумм при условии, что эти суммы построены по последовательности разбиений области D, причем такой, что макс. диаметр частичной площади стремится к нулю.

Данное определение нуждается в обосновании. Оно может оказаться некорректным, поскольку последовательность интегральных сумм можно построить бесчисленнным множеством способов. При этом для разных последовательностей пределы могут оказаться различными, а для некоторых могут не существовать.

Для непрерывных подынтегральных функций оно корректно.