17. Поверхностная и объёмная плотность. Нахождение массы по известной плотности с помощью двойных и тройных интегралов.

Плотность: ρ=m/V => m=ρV

Пластина – материальное тело, толщина которого намного меньше остальных его размеров. Обычно, распределение массы характеризуется поверхностной плотностью.

∆m, ∆S – масса и площадь площадки

γ_ср =∆m/∆S – поверхностная плотность площадки

Если площадку стягивать в точку, то предел указанного отношения называется плотностью тела в указанной точке.

Дана плотность тела в каждой его точке – а(х,у). Найти массу пластины:

Разобьем пластину на части, например прямыми, параллельными координатным осям.

Масса каждой частичной площадки: ∆m_i=γ(x_i, y_i) * ∆S_i

Ошибка будет – о(∆S)

_n

M ≈ ∑ γ(x_i, y_i) * ∆S_i

ⁱ⁼¹

Последнее равенство точнее, если меньше максимальный диаметр частичной площадки. Правая часть является интегральной суммой. При переходе к пределам имеем:

M=∫ ∫ γ(x, y) dxdy

^D

В физике для нахождения массы тела используют тройной интеграл. В связи с этим вводится понятие объемной плотности:

ρ (x,y,z)=lim m/V

Аналогичным образом выводится формула для нахождения массы:

M=∫ ∫ ∫ γ(x, y, z) dxdydz

^T

18 Числовые ряды. Сходимость и расходимость. Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд – сумма бесконечного числа слагаемых. Если эти слагаемые являются числами, то говорят о числовом ряде. Если же слагаемые являются функциями, то говорят о функциональных рядах.

Числовой ряд – сумма бесконечного количества слагаемых, каждое из которых является числом.

_n

U₁+ U₂ + … + U_n + … = ∑ U_i

ⁱ⁼¹

Частичная сумма ряда – сумма первых n членов этого ряда. При различных n получаем значение последней частичной суммы:

S₁ = U₁

S₂ = U₁ + U₂

S_n = U₁ + U₂ + … + U_n

Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет предел.

Ряд расходящийся, если последовательность частичных сумм не имеет предела.

В числовых рядах существует две основные задачи:

1) установить сходимость ряда

2) если ряд сходится, то вычислить его сумму. При этом редко удается вычислить сумму точно, поэтому она вычисляется с определенной точностью.

Необходимый признак сходимости:

Если числовой ряд сходится, то его n-й член стремится к 0 при

n->∞.

Эту теорему нельзя обратить, то есть из того, что n-й член стремится к 0 не следует, что ряд сходится.

Доказательство:

S_n = S_n-1 + U_n

U_n = S_n – S_n-1

Так как последовательность частичных сумм имеет предел, то получаем:

Lim S_n – Lim _Sn-1 = Lim S_n – Lim S_m = S - S = 0

^{n->∞ n->∞ n->∞ m->∞}

То есть предел n-го члена ряда при n->∞ стремится к 0. Теорема доказана.

19 Ряды с положительными членами. Теорема сравнения.

Ряды, у которых все члены положительны, называются рядами с положительными членами:

a₁, a₂, … , a_n > 0

Рассмотрим частичную сумму:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

Последовательность частичных сумм монотонно возрастает.

S₁ < S₂ < S₃ < … < S_n < …

Если последовательность частичных сумм, монотонно возрастая, не ограниченна сверху, то конечного предела она не имеет.

Если она ограниченна, то обязана иметь предел и ряд сходится.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда сводится к определению ограниченности сверху частичных сумм.

Теорема сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами. Члены второго ряда не меньше членов первого. Предположим, что члены второго ряда больше чем члены первого.

Справедливы утверждения:

• Если ряд 2 сходится, то сходится и ряд 1

• Если ряд 1 расходится, то и ряд 2 расходится

Доказательство:

В силу условий теоремы:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

δ_n = b₁ + b₂ + … + b_n

S_n ≤ δ_n

Если второй ряд сходится, то его частичные суммы ограниченны сверху:

  C>0   δ_n≤C => S_n≤C

То есть последовательность частичных сумм ограниченна сверху и ряд сходится. Утверждение 1 верно.

Если ряд 1 расходится, то

Lim S_n = +∞ => Lim δ_n = +∞

^{n->∞ n->∞}

То есть расходимость ряда 1 влияет на расходимость ряда 2. Утверждение 2 верно.