13 Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Односторонние производные функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

14. Производная константы равна 0:

1.

Утверждение тривиально, т.к. в любой точке х приращение

Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. х, тогда функции также дифференцируемы в точке х:

(в случае частного, считаем ).q.e.d.

Док-во:

15.Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Д оказательство.

( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда

Теорема доказана.

Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g(y)  0

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

16. Производные основных элементарных функций.

1)С = 0;

2)(x^m) = mx^m-1;

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17.Уравнение касательной и нормали к кривой.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

У равнение касательной к кривой:

У равнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Граф . диф. В лекции

19Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где 0, при х0.

Следовательно: .

Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или

d y = f(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.