21.Векторная функция скалярного аргумента.
Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:
x = (t); y = (t); z = f(t);
Радиус-
вектор произвольной точки кривой:
.Таким
образом, радиус- вектор точки кривой
может рассматриваться как некоторая
векторная функция скалярного аргумента
t.
При изменении параметра t
изменяется величина и направление
вектора
.
Запишем соотношения для некоторой точки t0:
Тогда
вектор
- предел функции
(t).
.
Очевидно, что
,
тогда
.
Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.
;
;
или,
если существуют производные (t),
(t),
f(t),
то
Это выражение – вектор производная вектора .
Если имеется уравнение кривой:
x = (t); y = (t); z = f(t);
то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором
можно
провести прямую с уравнением
Т.к.
производная
-
вектор, направленный по касательной к
кривой, то
.
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.
1)
2)
,
где
= (t)
– скалярная функция
3)
4)
Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:
23Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
(Ролль (1652-1719)- французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,
f() = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M m.
Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за можно принять любую точку интервала.
Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a < < b точку, в которой f() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого х ( будем считать, что точка + х находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:
f() = f( + x) – f() 0
При
этом
Но
так как по условию производная в точке
существует, то существует и предел
.
Т.к.
и
,
то можно сделать вывод:
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1.)Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = = 0, то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что f() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
2).Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.