22. Поле разложения многочлена.
Теорема. Пусть F – поле, f(x) F[x]. Тогда существует расширение F’ поля, в котором многочлен f(x) разлагается на линейные множители.
Доказательство. Индукция по deg f(x). Б.И. deg f(x) = 1. Все очевидно(F’ = F). Ш.И. Пусть
deg f(x) = n > 1. Понятно, что можно считать, что f(x) – неприводим над F. Действительно, если f(x) – приводим, то f(x) = g(x)h(x), где deg g(x), deg h(x) < n. По предположению индукции существует
F’
F такое, в котором g(x)
разлагается на линейные множители,
существует F’’
F’ такое, в котором h(x)
разлагается на линейные множители. Над
F’’ и многочлен f(x)
разлагается на линейные множители.
Пример.(К
первой части доказательства) Рассмотрим
над
.
Он приводим:
.
Для
можно расширить
до
.
Над
,
а теперь расширим
до
.
Тогда
.
Итак, над
Продолжение доказательства. Итак,
считаем, что f(x)
– неприводимый над F
многочлен степени n > 1.
Достаточно расширить F
до такого поля F’, в котором
у f(x) есть
хотя бы один корень. Действительно,
пусть F’ – такое расширение
и
F’ – корень многочлена
f(x). По
теореме Безу
f(x)
= (x -
)g(x).
Так как deg g(x)
= n – 1 < n,
по предположению индукции существует
F’’
F’, в котором g(x)
раскладывается на линейные множители.
Будем строить F’. Рассмотрим
на множестве F[x]
отношение сравнимости по модулю
f(x): g(x)
h(x)(mod
f(x))
g(x) – h(x)
делится на f(x).
Это равносильно тому, что g(x)
и h(x) дают
одинаковые остатки при делении на f(x).
Это отношение эквивалентности.(очевидно)
Оно разбивает множество F[x]
на классы эквивалентных многочленов.
Это и будет искомое поле F’.
Определение операций. Будем обозначать через [g(x)] клсс, содержащий g(x). Определим операции на F’ так: [g(x)] + [h(x)] = [g(x) + h(x)]. [g(x)] * [h(x)] = [g(x)*h(x)]. Проверим корректность.Сложение. Пусть g(x)
(x)(mod
f(x)), h(x)
(x)(mod
f(x)). Надо
доказать, что [g(x)
+ h(x)] = [
(x)
+
(x)],
т.е. g(x) +
h(x) =
(x)
+
(x)(mod
f(x)), g(x)
-
(x)
делится на f(x),
h(x) -
(x)
– делится на f(x),
(g(x) + h(x))
– (
(x)
+
(x))
делится на f(x).
Умножение. Надо доказать, что [g(x)
* h(x)] = [
(x)
*
(x)],
т.е. g(x) *
h(x) =
(x)
*
(x)(mod
f(x)).
Рассмотрим разность: g(x)h(x)
–
(x)
(x)
= g(x)h(x)
– g(x)
(x)
+ g(x)
(x)
-
(x)
(x)
= g(x)(h(x)
-
(x))
+ (g(x) -
(x))
(x)
делится на f(x).
F’ – поле. Все аксиомы, кроме 9 следуют из того, что F[x] – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. 9 – для любого g(x) такого, что [g(x)] ≠ [0], существует h(x) такой, что [g(x)][h(x)] =[1]. Если [g(x)] ≠ [0], то g(x)
0(mod f(x)),
т.е. g(x) не
делится на f(x).
Поскольку f(x)
неприводим, отсюда следует, что НОД(g(x),
f(x)) = 1.
Поэтому существуют такие h(x)
и k(x), что
h(x)g(x)
+ k(x)f(x)
= =1(Теорема о НОД). Отсюда h(x)g(x)
1(mod f(x)),
т.е. [h(x)][g(x)]
= [1].F вкладывается в F’. Для этого элементам поля F сопоставим их классы a -->[a]. Ясно, что это взаимооднозначное отображение и операции сохраняются.
Класс [x] будет корнем для f(x). Действительно, пусть f(x) =
Тогда
f([x]) =
