25. Последовательность Штурма. Теорема Штурма. Алгоритм построения последовательности Штурма.

Пусть f(x) [x] без кратных корней. Последовательность множеств

[x] называется последовательностью Штурма, если выполнены 4 условия:

1. не имеет действительных корней.

2. не имеют общих действительных корней.

3. Если при 0 < < s, то и разного знака.

4. Если - корень f (т.е. ), то меняет знак с «-» на «+» при переходе

через .

Пусть есть конечная последовательность Вычеркнем из нее 0. Все положительные числа заменим «+», а все отрицательные «-». Число мест, где «+» и «-» стоят рядом, называется числом перемен знаков в исходной последовательности.

-1, 8, 0, 16, -4, 9, 11: -,+, ,+,-,+,+ - 3 перемены знака.

Теорема. Пусть f(x) [x] без кратных корней и [x] – последовательность Штурма. Для любого c обозначим через W(c) число перемен знаков в последовательности . Если a,b и a < b, то число корней многочлена f(x) на [a;b] равно W(a) – W(b).

c-s	+/-	+/-	-/+
c	+/-	0	-/+
c+s	+/-	+/-	-/+

Доказательство. Понятно, что значение W(c) может изменяться только при переходе через корень одного из многочленов . Рассмотрим 2 случая:

1. c – корень при 0 < < s.

Число перемен знаков не меняется при переходе через c.

2. c-s	-/+	+/-
   c	0	+/-
   c+s	+/-	+/-

   c – корень

Число перемен знаков уменьшится на 1.

Построение последовательности Штурма. Возьмем

в качестве производную многочлена f. Если уже

определены и deg > 0, поделим на с остатком и положим

равным остатку со знаком «-». . Проверим, что - последовательность Штурма:

1. = НОД(f,f’), он есть ненулевая константа, т.к. многочлен f не имеет кратных корней, а

значит, взаимно прост с f’.

2. Пусть – общий корень и . Подставим Получим и т.д.

Откуда – противоречие.

3. П усть . Подставим в (*). Получим значит знаки разные.

4. f *f’ меняет знак с «-» на «+». f’ > 0 f’ < 0

Пример. Отделим корни

многочлена

. Возьмем в качестве

многочлен .

­­­ |

| x + 1 |

-2x – 1

			1	W(c)
-	+	-	+	3
+	+	+	+	0
-	0	+	+	1	0 ==> 2
+	+	+	+	0	1 ==>
+	-	-	+	2	-1 ==>
+	0	-	+		-2 ==>
-	+	-	+		-3 ==>

Вывод. У три действительных корня:

Пример. Доказать, что у многочлена нет положительных корней.

	+	+	-
	+	+	-

Решение. Пусть , а - это , а в качестве Имеем В качестве . Тогда – последовательность Штурма на [ ] для любого .