7,3 § 62. Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой линии. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей.

На рис. 122 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся плоскостей £ и 0, причем плоскость Sum частного положения — фронтально проецирующая. Она пересекает линии АВ и АС плоскости 0, данной треугольниками ABC — плоскости общего положения. Точки пересечения 1 и 2 и определяют линию пересечения плоскостей. Соединив их, получаем искомую линию: a(1, 2) = Sum^Q.

Линию пересечения двух плоскостей, занимающих общее положение, можно построить в исходной системе плоскостей проекции. Для этого дважды решают задачу на построение прямой одной плоскости со второй плоскостью. Задачу можно решать в новой системе плоскостей проекции, построив изображение одной из пересекающихся плоскостей как плоскости проецирующей.

На рис. 123, а построена линия пересечения двух треугольников ABC и DEF путем построения точки М пересечения линии АВ с плоскостью DEF и точки N пересечения линии EF с плоскостью АВС:

1) АВ ~ Sum¹(Sum¹_|_П₂), Sum¹ ^DEF=l -2(1₂—2₂; 1₁—2₁), 1₁—2₁ ^ А₁B₁ = М_1, M₁,M₂ || А₁A₂,М₁М₂ ^ А₂В₂ = М₂,М(М,М₂);

Рис. 122

Рис. 123

2) EF ~ Sum²(Sum²_|_П₂), Sum² ^ ABC = 3—4(3₂—4₂; 3₁—4₁),3₁-4₁ ^ E₁F₁= = N₁, N₁N₂ || A₁,A₂; N₁N₂^ E₂F₂ = N₂; N(N₁,N₂);

3) M₁ U N₁, = M₁N₁, M₂ U N₂ = M₂N₂;

4) ABC^DEF = MN.

После построения определяют видимость пересекающихся плоскостей. На фронтальной плоскости она определена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 5. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций использованы горизонтально конкурирующие точки 6 и 7.

На рис. 123, б эта же линия пересечения построена с помощью дополнительных проекций данных плоскостей на плоскости П₄, относительно которой плоскостьDEF занимает проецирующее положение. Дополнительные проекции построены из условия, что горизонталь h € DEF проецируется в точку на плоскости П₄ _|_ h.Новые линии связи проведены .через незаменяемые горизонтальные проекции точек А,

В, С, D, E, F параллельно h₁, а новая ось проекций П₁/П₄ _|_ h₁. Замеренные на плоскости П₂ высоты точек определили их проекции на плоскости П₄.

A₄B₄C₄^ D₄E₄F₄ = M₄K₄, так как А₄В₄ ^ D₄E₄F₄ = М₄ и В₄С₄ ^ D₄E₄F₄ = = К₄. По направлению новых линий связи определяем горизонтальную проекцию линииМК (М₁К₁). Отмечаем точку пересечения стороны EF c линией МК: E₁F₁ ^ M₁K₁ = N₁. Точки отрезка NK не имеют общих точек с плоскостью DEF.

Пересекающиеся плоскости в частном случае могут быть перпендикулярными. Для выявления случаев перпендикулярности надо помнить, что если две плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. На рис. 122 дан комплексный чертеж взаимно перпендикулярных пересекающихся плоскостей: одна фронтально проецирующая Sum (Sum₂), а вторая — общего положения (ABC) — содержит в себе перпендикуляр АВ к плоскости Sum(AB||П₂; A₂B₂Sum₂).

Две плоскости в общем случае могут пересекаться в бесконечности. Тогда имеет место параллельность этих плоскостей. При выявлении этого случая следует учитывать, что у параллельных плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 91 плоскость S параллельна плоскости Sum₂, так как а || с, b || d.

7,4 При пересечении поверхности с плоскостью в сечении получают плоскую линию. Эту линию строят по отдельным точкам. В начале построения сперва выявляют и строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. В тех случаях, когда проекция линии пересечения не полностью определяется этими точками, строят дополнительные, промежуточные точки, расположенные между опорными. В данном разделе рассматриваются случаи пересечения поверхности плоскостями частного положения, так как в случае наличия секущей плоскости общего положения чертеж всегда можно преобразовать так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей (см. рис. 129). В случае пересечения гранной поверхности плоскостью получается плоская ломаная линия. Чтобы построить эту линию, достаточно определить точки пересечения плоскостью ребер и сторон основания, если имеет место пересечение основания, и соединить построенные точки с учетом их видимости (рис. 124,а). Так как в этом случае секущая плоскость Е занимает фронтальное проецирующее положение, то точки пересечения ребер определяются без дополнительных построений: AS^Sum=1(1₂; l₁); Sum = (2₂; 2₁); CS^Sum = 3(3₂; 3₁). Так как граньACS относительно плоскости П\ невидима, то и линия l₁—3₁ тоже невидима.

Рис. 124

В случае пересечения цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 124, б): окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения поверхности; эллипс, если секущая плоскостьSum не перпендикулярна и не параллельна оси вращения; две образующие прямые, если секущая плоскость U параллельна оси поверхности. На плоскостьП₁, перпендикулярную оси вращения поверхности, окружность и эллипс на поверхности цилиндра проецируются в окружность, совпадающую с проекцией всей поверхности. При пересечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 125, а — д): окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения (а); эллипс, если секущая плоскость Sum¹ пересекает все образующие поверхности (б); парабола, если секущая плоскость (Sum²) параллельна только одной образующей (S— 1) поверхности (в); гипербола, если секущая плоскость (Sum³) параллельна двум образующим (S—5 и 5—6) поверхности (г); две образующие (прямые), если секущая плоскость (Sum⁴) проходит через вершину S поверхности (д). 

Рис. 125 Рис. 126

Проекции кривых линий сечений плоскостью конуса строятся по отдельным точкам (точки 2, 4 на рис. 125, б). При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется без искажения (рис. 126, а). Если секущая плоскость занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна (рис. 126, б—на фронтальной), окружность сечения изображается отрезком прямой (1₂—4₂), длина которого равна диаметру окружности, а на другой плоскости — эллипсом, большая ось которого (5₁—6₁) равна диаметру окружности сечения. Этот эллипс строят по точкам. Точки видимости 2 и 3 относительно плоскости П₁ лежат на экваторе сферы.

Рис. 127

Задача построения линии пересечения несколько сложнее при пересечении сферы плоскостью общего положения (рис. 127) Q(a^h). Этот случай можно свести к предыдущему (см. рис. 126, б), если построить дополнительные изображения сферы и секущей плоскости на плоскости П₄ _|_П₁, причем П₄ _|_h (6). Тогда плоскость в станет проецирующей Q _|_П₄ в новой системе плоскостей (см. рис. 127). На чертеже оси проекции проходят через центр сферы. На плоскости П₄ отмечаем проекции опорных точек: А₄ — самой низкой точки сечения; В₄ — самой высокой, дающих величину диаметра dокружности сечения с центром в точке О (О₄); Е₄ = F₄ — на экваторе сферы— точек видимости линии сечения относительно плоскости П₁, С₄ = D₄ = O₄ — горизонтального диаметраCD, определяющего большую ось эллипса, — горизонтальной проекции окружности сечения. Горизонтальная проекция сечения — эллипс — легко строится по большой C₁D₁ и малой А₁В₁осям. Фронтальная проекция окружности тоже эллипс, который можно построить по сопряженным диаметрам A₂B₂ и C₂D₂ (высоты этих точек отмечены на плоскости П₂ и на плоскости П₄) с помощью описанного параллелограмма. Видимость окружности сечения относительно плоскости П₂ определяется точками G и H, полученными в пересечении главного меридиана сферы f с плоскостью 9. Для этого взята вспомогательная плоскость уровня Ф: Ф э f; Ф ^ Q = 2—3; f₂^2₂—3₂ = H₂ и G₂. Линии среза получаются при пересечении поверхности вращения плоскостью, параллельной оси вращения поверхности. Линии среза часто встречаются на поверхностях деталей. На рис. 128 построена линия среза комплексной поверхности, состоящей из поверхностей сферы и конуса, фронтальной плоскостью уровня Ф. 

Рис. 128 Рис. 129

Линия среза включает линию пересечения сферы (В₂ —А₂ — С₂) — часть окружности радиуса r — и линию пересечения конуса (В₂— D₂ — С₂) — ветвь гиперболы, которую строят по отдельным точкам. В качестве вспомогательных секущих плоскостей для построения промежуточных точек берут плоскости, перпендикулярные оси вращения поверхностей. Пересечение поверхностей геометрических фигур может быть осуществлено не одной, а несколькими секущими плоскостями. Как и в случае пересечения одной плоскостью, построение каждой линии пересечения упрощается, если секущие плоскости являются плоскостями частного положения. На рис. 129,а по заданной фронтальной проекции выреза, выполненного в правильной треугольной пирамиде тремя фронтально-проецирующими плоскостями, построены горизонтальная и профильная проекции. При решении таких задач вначале анализируют форму каждой грани выреза. Сторонами этих многоугольников будут: 1) линии пересечения граней пирамиды с плоскостями выреза и 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом. Вершинами: 1) точки пересечения ребер пирамиды с плоскостями выреза и 2) концы отрезков, по которым грани выреза пересекаются друг с другом. На рис. 129,а плоскость I пересекает ребра пирамиды SА и SВ в точках 1 и 2, а с плоскостью III пересекается по отрезку 3—4; таким образом, форма грани 1 — четырехугольник 1—2—3—4. Аналогично в плоскости II получается четырехугольник 5—6—7—8. Вершинами четырехугольника 3—4—8—7 в грани III являются концы отрезков, по которым эта грань пересекается с гранями I и П. Стороны всех этих многоугольников составляют очертания выреза. Для получения их проекций на пл. П₁ и П₃ сначала нужно отметить фронтальные проекции (1₂ . . . 8₂) всех вершин, затем построить горизонтальные и профильные их проекции, после чего соединить на П₁ и П₃ вершины каждого многоугольника последовательно, с учетом видимости каждого отрезка. Грань I расположена горизонтально, поэтому на П₃ проецируется в горизонтальный отрезок. Грань пирамиды SAC профильно-проецирующая, поэтому все линии выреза, полученные в ней, на П₃проецируются в одну линию. При обводке чертежа нужно стереть или оставить тонкими линиями части вырезаемых ребер пирамиды. На рис. 129,б построены проекции правильной четырехугольной призмы с отверстием, ограниченным фронтально-проецирующими плоскостями. Каждая грань выреза (I, II, III, IV) представляет собой плоский многоугольник, сторонами которого являются: 1) линии пересечения соответствующей секущей плоскости с гранями призмы и 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом (отрезки 1—2; 3—4; 5—6; 7—8). Исходя из этого, имеем: грань I — трапеция 1—2—4—3; грань II — трапеция 3—4—6—5; грань III — прямоугольник 5—6—8—7; грань IV — шестиугольник 1—2—10—8—7—9. После анализа формы граней выреза производится построение проекций этих фигур на пл. П₁ и П₃. На пл. П₁ все линии контура совпадают с вырожденными проекциями соответствующих граней. Грани II и IV расположены горизонтально, поэтому на пл. П₃ проецируются в виде горизонтальных отрезков.

Рис. 130

На рис. 130,а показано построение выреза в цилиндре. Вырез ограничен тремя гранями. Вертикальная грань ограничена двумя горизонтальными сквозными ребрами 55' и 66' и прямыми 5,6 и 5' 6' на боковой поверхности цилиндра. Наклонную грань ограничивают частью эллипса на боковой поверхности цилиндра и сквозным ребром 55'. Горизонтальная грань представляет собой плоскую фигуру, ограниченную частью окружности и прямой 66'. Линии выреза, лежащие на боковой поверхности цилиндра, проецируются на окружность основания на П₁.Профильная их проекция строится по точкам измерения их глубин относительно плоскости симметрии цилиндра ф. Сквозные ребра 55' и 66' невидимы на П₁ и П₃ На рис. 130, б приведена задача построения выреза в конусе. Призматическое отверстие в конусе имеет три внутренние стенки, границами между которыми служат ребраАА', BE' и СС', которые перпендикулярны П2i. Правая стенка(АЕ) имеет форму трапеции, так как секущая плоскость этой стенки проходит через вершину S и пересекает конус по образующим SD и SD'. Части этих образующих между точками А (А') и В (В¹)дают контур правой стенки. Нижняя стенка (между ребрами ВВ' и СС') представляет собой часть круга, ограниченного параллельно h. Левая стенка (между ребрами АА' и СС') ограничена частью параболы, проекции которой определяются точками F (Р) на профильном меридиане конуса и промежуточными точками К (К') на вспомогательной параллелиh'. Профильный меридиан конуса «вырезан» на участке между точками Е (E') и F(F). На рис. 130, в построены проекции сферы с вырезом. Призматическое отверстие имеет 4 внутренние стенки, границами между которыми служат ребра АА', ВВ', СС', DD', которые перпендикулярны П₂. Каждая стенка представляет собой часть круга. Верхняя и нижняя параллельны П₁и проецируются на нее в виде части окружности с радиусами, которые определяются по параллелям h и h'. Экватор вырезан между точками 1,5 и 2,6. Правая и левая стенки выреза параллельны П₃ и проецируются на нее в виде частей круга с радиусами, которые определяются окружностями Р и Р'. Профильный меридиан вырезан между точками 3,7 и 4,8. Приведенные примеры показывают, что, меняя положение секущих плоскостей, можно получить вырезы заданной формы.

7,5 При построении линии пересечения поверхностей вращения — конуса и цилиндра — могут быть различные случаи. На рис. 136 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае (рис. 136, а) цилиндр врезается в конус, потому что если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором (рис. 136, б) конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем (рис. 136, в) сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса. В этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Рис. 136

Это положение подтверждается теоремой Монжа: если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят, что поверхности имеют двойное прикосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 137).

Рис. 137

Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные, плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF и AEBDизображаются отрезками прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с вырожденной проекций вертикального цилиндра, на горизонтальной плоскости проекций.

Рис. 138

Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 138). В конструкциях технических деталей часто при пересечении поверхностей вращения используют сопрягающую поверхность, которая осуществляет плавный переход от одной поверхности к другой (рис. 139, а, б, в).

Рис. 139

Чтобы не строить две близко расположенные линии пересечения сопрягающей поверхности с основными поверхностями, на чертеже проводят условно одну линию, выполняя ее тонкой сплошной линией. Эту линию и называют линией перехода. Линия перехода заканчивается в точках пересечения очерковых линий основных поверхностей (рис. 139, а) и заменяется более простыми (циркульными) кривыми.

А) метод секущих плоскостей

^ 13.2 Метод вспомогательных секущих плоскостей Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересе­чении с данными поверхностями образуют простые линии (прямую или окружность). 13.2.1 Задание: даны поверхности конуса   и цилиндра ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения. Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П₂, следо­вательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют опорные - наивысшую и низшую точки 1 и 2, которые лежат на пересечении фронтальной про­екции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l₁ и 2₁, совпадают с осевой линией конуса). Точ­ки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции. Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П₁ проводят вспомогательную секущую плос­кость Г (ее фронтальный след Г₂). Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиусом R, которая на П₁ будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции опорных точек 3₁ к 4₁ (рис. 13.3). Построение промежуточных точек аналогично построению то­чек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4). ^ 13.3 Метод вспомогательных концентрических сфер Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, когда их оси пересекаются и параллельны плоскости проекции. Точка пересечения осей принимается за центр вспомогательных концентрических секущих сфер. 13.3.1 Задание: Даны две поверхности вращения - конус и ци­линдр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, па­раллельной П₂ (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересече­ния. Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересече­ния меридианов заданных поверхностей вращения 1₂ и 2₂ - они при­надлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра - 1, и 2,. Другие точки линии пересечения можно построить, используя кон­центрические сферические посредники, как вспомогательные секущие поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции кону­са, а последующие - большим радиусом (рис. 13.6). Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фрон­тальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей. Горизонтальные проекции этих точек определяются по принад­лежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их полу­чать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят последова­тельный ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость го­ризонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной про­екции отмечают точки, лежащие на осевой линии цилиндра и принад­лежащие линии пересечения. Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на не­видимой части цилиндра.

8 метод замены плоскостей

8,1 Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁_|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁A₄ и В₁В₄ проведены

Рис. 108

Рис. 109

Рис. 110

Рис. 111

перпендикулярно новой оси —П₁/П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁.

Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄ отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П₂ (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П₄_|_ П₁. (рис. 110), а фронталь f— на П₄_|_ П₂

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П₄_|_ П₂, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П₂_|_ П₄, прямая заняла положение линии lуровня (А₂А₄ _|_П₂/П₁;

П₂/П₄ || l₂). Затем от системы П₂ _|_ П₄ осуществлен переход в систему

Рис. 112 

Рис. 113

П₄ _|_П₅, причем вторая новая плоскость проекций П₅ перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₄, то на плоскости П₅ получаем изображение прямой в виде точки (А₅ = B₅ = l₅).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П₄ _|_П₁. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П₄ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П₁/П₄, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П₁).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П₂ _|_П₄, (П₄ расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

Рис. 114

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П₂ _|_П₄, а если горизонтально проецирующим, то в системе П₁ _|_П₄. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А₄В₄С₄ горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П₄ _|_П₁

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П₁ / П₄ _|_h₁. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П₅ нужно замерить на плоскости П₁ от оси П₁ / П₂ и откладывать по новым линиям связи от новой оси П₄ /П₅. ПроекцияD₅E₅F₅ треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.