Билет 10.

1.Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.

Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что . О пишем D неравенствами Тогда . Если контур включает вертикальные участки, такие как EF, то на этих участках dx= 0, поэтому , и , что и требовалось доказать.

Равенство доказывается точно также: . Суммируя равенства и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина

2. Пусть теперь D - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком АВ, и пусть подобласти D₁ и D₂ - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

и . По свойству аддитивности , . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

2. Выпишите формулу для вычисления поверхностного интеграла 1 рода в декартовой системе координат. приведите пример.

Пример: вычилить поверхностный интеграл

G:x+y+z=1, первый октант

3. Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть в окрестности точки функция представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора , где - частичная сумма ряда, - его остаток. Так как имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: . Сравнивая эти представления, получаем . Из сходимости ряда к следует, что , что и требовалось доказать.

Достаточность. Если , то , т.е. остаток ряда стремится к нулю при , т.е. ряд сходится к функции .

4. Найдите поток векторного поля a=xi+4yj+(5z+1)k через плоскость x+2y+z/2=1, расположенную в первом октанте, нормаль образует острый угол с осью oz.

, ;

5. Найдите циркуляцию поля вдоль контура г, ориентированного по вектору k, если г- пересечение поверхностей

;

6. Разложить функцию по степеням х и указать пригодность данного разложения.

Билет 11.

1 Вопрос) Тройной интеграл в цилиндрических координатах. В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: r,  и z, где r и  - полярные координаты проекции M¹

т очки М на плоскость Оху, z - аппликата точки M. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым:

Вычислим якобиан этого преобразования:

, следовательно, .

1 6.2.5.3. Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r,  и , где r - длина радиуса-вектора точки M,  - полярный угол проекции M¹ точки М на плоскость Оху, - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:

Вычислим якобиан этого преобразования: , следовательно, .

2 Вопрос) Теорема Остроградского. Пусть - кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область V, - гладкое векторное поле. Тогда поток поля через внешнюю сторону равен тройному интегралу от дивергенции поля по V:

.

Приведённую выше формулу обычно называют формулой Остроградского в векторной форме. Если записать её в виде или , то получим формулу Остроградского в координатной форме.

Доказательство. Достаточно доказать формулу в случае, когда тело V - простое, т.е. проекция V на любую координатную плоскость - простая область D, и любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках. Если V не является простой областью, мы разобьём её на простые части; тогда сумма тройных интегралов по этим частям, в силу аддитивности, даст интеграл по всей области V ; а при вычислении поверхностных интегралов интегралы по введённым внутренним перегородкам будут браться дважды с противоположными направлениями нормали и взаимно уничтожатся. Кроме того, достаточно доказать формулу Остроградского для каждого из слагаемых: , , , тогда сумма этих формул даст общую формулу. Докажем, например, что . Простую область V, как мы знаем, можно описать следующим образом: . Вычисляем : . Знак последнего слагаемого выбран с учётом того, что на . Если в полной границе области V присутствует цилиндрическая составляющая , то , поэтому окончательно . Совершенно аналогично доказываются формулы для двух других слагаемых. Формула Остроградского доказана.

3 Вопрос) Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е. ;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е. ,

то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.

ПРИМЕР! С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов , . , и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно ( сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся