2. Криволинейный интеграл второго рода в декартовой системе координат.

Пусть в плоскости задана непрерывная кривая и функция , определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую точками в направлении от точки к точке на дуг с длинами

На каждой «элементарной дуге» возьмем точку и составим сумму вида , где = – проекция дуги на ось .

Такую сумму называют интегральной суммой для функции по переменной

Если при интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой , ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате (или второго рода) от функции по кривой и обозначают:

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции по координате :

Криволинейный интеграл второго рода общего вида определяется равенством

3. Вычислить массу поверхности полусферы , вырезанной цилиндром , если плотность оболочки полусферы .

4. Вычислить объем тела, огранич. пов.

5. Разложить в ряд Маклорена функцию

Билет №14

1. Свойства соленоидального поля

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т.е.

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток.

Свойства:

1. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме

Рассамтривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле, можно утверждать, что левая часть формулы есть поток вектора через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора .

2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .

Доказать, что .

3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраниет своё постоянное значение.

Рассмотрим векторную трубку между двумя её произвольными сечениями S­₁ и S₃; боковую поверхность обозначим S­₃. Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из S­₁, S­₂ и S­_3­ , равен нулю.

Следовательно

где – внешняя нормаль.

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль перпендикулярна к векторам поля, то . Тогда

Поменяв направление нормали на площадке , т.е. взяв внутреннюю нормаль , получим:

2. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Предположим, что поверхность задаётся неявным уравнением ( - непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален , т.е. является нормальным к вектором. Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , , . Теперь мы можем выразить элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскости: , , . В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде получим , т.е. , , , , поэтому , , , и .