24. Теорема о проекционном срезе.

К настоящему времени предложено большое количество алгоритмов восстановления. Некоторые из них реализованы в пространственной, другие — в частотной области преобразования Фурье. Независимо от того, как реализован тот или иной конкретный алгоритм, полезно рассмотреть, как осуществляется операция проецирования в обоих случаях.

Функция проецирования, определяемая уравнением , является одномерной. Если х(u₁,u₂) имеет спектр Фурье X( ), существует и одномерный спектр Фурье функции .

Обозначим этот спектр Фурье через . Тогда можно записать

Возвращаясь к неповернутой системе координат, получим

или

Таким образом, получается следующий довольно интересный результат: спектр Фурье проекции, полученной под углом , является сечением двумерного преобразования Фурье неизвестной функции вдоль линии, проходящей через начало координат плоскости ( ) и составляющей угол с осью . Эту функцию сечения мы будем называть срезом X( ) под углом . Уравнение (7.48) известно как теорема о проекционном срезе. Из теоремы о проекционном срезе следует, что значение нескольких проекций объекта обеспечивает значение преобразований Фурье вдоль выбранных радиальных линий в фурье-плоскости. Таким образом, задача восстановления или оценки х(u₁,u₂) эквивалентна задаче интерполяции преобразования Фурье в целом на основе этих радиальных сечений.

25. Алгоритм фильтрованной обратной проекции.

Обратное проецирование с фильтрацией аналогично методу обратной проекции за исключением того, что профили до обратного проецирования модифицируются или фильтруются. Это позволяет вывести эффект затемнения, присущий методу обратной проекции. В идеальном случае восстановленное изображение совершенно точное, поскольку модификация профилей точно компенсирует ложный сигнал, создающий нерезкое изображение при обратном проецировании.

Предположим, что есть Фурье-образ некоторой функции K(v),

тогда произведение |v| на Фурье-образ проекции можно рассматривать как Фурье-образ свертки самой проекции и K(v)

Cледует, что формула описывающая метод обратного проецирования с фильтрацией свёрткой при измерении конечного числа проекций будет: (1)

где - результат свертки измерений проекции с некоторой функцией K(v), называемой ядром свертки. Как и в методе обратного проецированияМетод обратной проекции, суммирование идёт по М - количеству проекций, а коэффициент представляет угловое расстояние между соседними проекциями.

Точное вычисление K(v) невозможно ввиду расходимости этого интеграла, но это и не нужно, т.к. дискретизация отсчетов на проекциях через интервалы автоматически ограничивает область задания максимальным значением . Ядро K(v) в пределах от до вычисляется:

Если положить , то . K(m)=0, если m четное, , если m нечетное.

Выбор ядра существенно влияет на качество восстанавливаемого изображения. Поэтому выбор ядра является предметом тщательного исследования с учётом особенностей объекта, подлежащего восстановлению.

Процедура восстановления функции по методу обратной проекции с фильтрацией сверткой будет следующая:

1. Находим функцию как интеграл свертки проекции с функцией ядра свертки K(v).

2. Определяем функцию в точках v.

3. Вычисляем искомую функцию f(x,y), используя уравнение (1).

Удобство алгоритма обратной проекции с фильтрацией состоит в том, что вычислительный процесс восстановления может идти почти одновременно с регистрацией проекции: как только получена очередная проекция , осуществляется ее свертка с ядром K(m) и добавление данных в ячейки памяти, накапливающие результаты суммирования по формуле (1). Как только обработана последняя проекция, функция восстановлена.