53 Вопрос
Аналитический способ сложения сил
Воспользуемся теоремой: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Спроецируем равенство R = SFk на оси прямоугольной системы координат Оху, получим:
Rх = SFkx, Ry = SFky, (k = 1, 2, .., n),
где Fkx, Fky - проекции k-ой силы Fk на оси Ох и Оу соответственно. Тогда на плоскости Оху вектор R равные геометрической сумме слагаемых сил F1, F2, ..., Fn определяется по формулам:
R
= RхЧi + RуЧj;
R = [Rх2+ Rу2]1/2;
cos (R, i) = Rх/R, cos (R, j) = Rу/R
В основе механики, в частности, статики, лежат аксиомы — исходные положения, принимаемые в силу своей очевидности без доказательств, установленные на основании многочисленных опытов и наблюдений над движением и равновесием.
Приступая к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся рассмотрением аксиом, которые достаточны для обоснования статики. В число аксиом статики войдет один из законов Ньютона — закон равенства действия и противодействия (т. е. третий закон Ньютона). С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом было минимальным, чтобы они были непротиворечивы и независимы. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждаемых опытом. Все остальные положения статики выводят и строго доказывают, исходя из этих аксиом.
Геометрический способ сложения сил. Геометрическая сумма (главный вектор) системы сил F1, F2, ..., Fn определяется построением силового многоугольника. Для этого пользуются правилом сложения векторов. В произвольной точке О вектор R, соединяющий начало первого вектора F1 с концом последнего Fn изображает геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:
R = F1 + F2 + ... + Fn = SFk. (k = 1, 2, .., n)
.
Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси:
Fх = |F|Чcosa.
Fх > 0, если 0 < a < p/2;
Fх < 0, если p/2 < a < p;
Fх = 0, если a = p/2.
54 Вопрос
Система сходящихся сил.
Напомним определение системы сходящихся сил. Система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке.
Используя только аксиомы статики, рассмотрим приведение системы сходящихся сил и найдем условия равновесия твердого тела под действием этой системы сил.
Приведение системы сходящихся сил.
Пусть система сходящихся сил (F1, F2,...,Fn) приложена к твердому телу (рис. 12, a).
Согласно следствию второй аксиомы, переносим все силы системы в точку пересечения линий действия A и получаем систему сил, приложенных в одной точке (рис. 12, b). По аксиоме параллелограмма сил, начиная с сил F1 иF2, последовательно складываем силы, добавляя каждый раз к полученной сумме по одной силе системы. Дойдя до последней силы Fn, выясняем, что система сил (рис. 12, b) эквивалентна одной силе или равнодействующей R* (рис. 12, c), равной геометрической сумме сил системы.
Таким образом, система сходящихся сил приводится к равнодействующей (эквивалентна равнодействующей), которая равна геометрической сумме сил системы и приложена в точке пересечения линий действия сил:
(F1, F2,...,Fn) ~ R*; R* = F1 + F2 + ... + Fn |