57 Вопрос

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O₁. Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M_O1Z=åM_o1z(F_k)   (5.11). С другой стороны, имеем M_O1Z=M_Olz(R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M_Oz=0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M_O1z(R)=åM_OlZ(F_k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R₁ приложена в какой-либо точке О₁ с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F_o и главный момент М_Оя  при центре приведения в начале координат. Так как R₁=F_o, то составляющие равнодей­ствующей по осям х и у равны R_lx=F_Ox=F_Oxi и R_ly=F_Oy=F_oyj. Согласно теореме Вариньона мо­мент равнодействующей относительно на­чала координат равен главному моменту при центре приведения в начале коорди­нат, т. е. М_оz=M_Oz(R₁)=xF_Oy–yF_Ox. (5.14). Величины M_Oz, F_Ox и F_oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и у в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты ли­нии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F_ox≠0 его можно переписать в виде y=(F_oy/F_ox)x–(M_oz/F_ox).

58 Вопрос

Сложение двух параллельных сил

Система сил, линии действия которых параллельны и лежат в одной плоско- сти, называется плоской системой параллельных сил.

Рассмотрим систему, состоящую только из двух параллельных сил.

Случай 1. Силы направлены в одну сторону.

Две параллельные силы, направленные в одну сторону, эквивалентны равно- действующей, которая равна сумме этих сил, параллельна им и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей делит отрезок, соеди- няющий точки приложения данных сил, на части, обратно пропорциональ- ные этим силам.

На рисунке показаны две параллельные силы , и их равнодействующая : А В С 1 F 2 F R

Записанная пропорция может быть представлена и в таком виде:

F1 / BC = F2 / AC = (F1 + F2) / (AC + BC), т.е. F1 / BC = F2 / AC = R / AB.

Разложение данной силы на две составляющие производится с помощью формул сложения двух параллельных сил. Следует отметить, что задача раз- ложения есть задача неопределѐнная, имеющая бесчисленное множество ре- шений.

Случай 2. Неравные силы, направленные в разные стороны. Рассмотрим случай сложения двух не равных по модулю антипараллельных сил. Случай, когда такие силы равны по модулю, будет рассмотрен далее. Две неравные антипараллельные силы эквивалентны равнодействующей, ко-торая равна разности данных сил. Линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения данных сил, внешним образом на части, обратно пропорциональные данным силам. Рассмотрим две параллельные силы , , при-чѐм F1 > F2. Разложим силу на две параллель-ные составляющие и так, чтобы сила была приложена в точке В и F2 = F/2 . Тогда (см. случай 1) можно записать следующие соотноше-ния:

F1 =R + F/2 , F1 / BC = F/2 / AC = F / AB.

Из этих равенств находим модуль равнодействующей F и расстояние АС до точки еѐ приложения:

R = F1 - F2, АС = AB (F2 / R).

Итак, равнодействующая двух параллельных сил равна их алгебраической сумме.

Очевидно, что равнодействующая системы n параллельных сил равна также их алгебраической сумме:

R = F1 + F2 + F3 + ….. + Fn = Σ Fi .

Вопрос о положении линии действия равнодействующей рассмотрим далее.