5 Ранг матрицы. Теория о ранге. Вычисление ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора. метод окаймляющих миноров: Если не мудрить, то берем сначала какой-либо ненулевой элемент матрицы, ищем вокруг него квадратную матрицу из 4 элементов (2*2), ее определитель не должен быть равен нулю. Теперь 3*3, которая включает в себя предыдущую матрицу, и ее определитель тоже не ноль. Так продолжаем, пока не превысим размеры матрицы или пока определитель всех окаймляющих миноров не станет равен нулю. Ранг равен размерности столбца и строки последнего ненулевого минора.

6. Совместимость систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы.

Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы система уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

При этом:

1) если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матри-цы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное

решение;

2) если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матри-

цы, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решения не существует.

7.Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных - метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

8.Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция на ось. 1)Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. 2)Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления. 3)Два вектора называются равными,если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. Скалярное произведение: ab=|a||b|*cosϕ Векторное произведение: через матрицу Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а_x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а_x·i - его векторная проекция на эту ось. 

9.Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, координатное выражение.

Два упорядоченных неколлинеарных вектора a и b образуют

базис на плоскости.

Три упорядоченных некомпланарных вектора a , b и c образуют

базис в пространстве.

Базис называется ортонормированным (декартовым), если базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную

длину. Обозначение декартова базиса: i , j – на плоскости; i , j ,

k – в пространстве.

Скалярным произведением векторов a и b называется число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если векторы заданы координатами в декартовом базисе, то скалярное произведение векторов равно сумме произведений их координат