17.Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства.

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1, λ2,...,λn, при котором линейная комбинация векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение.

.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.

18.Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора

Векторное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Размерность пространства условимся обозначать через dim.

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного пространства называется его базисом.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где  — координаты вектора.