Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где  ,   и   — произвольные постоянные, причем постоянные   и   не равны нулю одновременно. Вектор с координатами   называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При   прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где   — производный параметр,   — координаты   и   направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрических уравнений делением одного уравнения на другое:

где   — координаты   и   направляющего вектора прямой,   и   координаты точки, принадлежащей прямой.

Билет 23)Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения прямой в . Угол между двумя прямыми. Критерии параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось Оу в точке (0,b) и образующей угол с положительным направлением оси Ох:

у=кх+в к=tga

Коэффициент называется угловым коэффициентом. Равен он тангенсу угла наклона, образуемого прямой с положительным направлением оси Ох , т. е.

Если учесть, что тангенс острого угла есть величина положительная, а тангенс тупого угла – величина отрицательная, то можно очень быстро представить расположение прямой на плоскости.

Геометрический смысл углового коэффициента.

2.Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший(острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.

Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 (первая прямая) и y=k2x+b2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле:

tg(α)=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)

3. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е:

4. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е:

Это условие может быть записано также в виде: k₁k₂ = -1

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде , то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

Билет 24)Вычисление расстояния от точки до прямой в . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки; уравнения пучка прямых, проходящих через заданную точку.

Вычисление расстояния от точки до прямой в планиметрии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки; уравнения пучка прямых, проходящих через заданную точку.

1. Расстояние от точки до прямой d равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если задано уравнение прямой A_x + B_y + C = 0, то расстояние от точки M(х₀, у₀) до прямой можно найти, используя следующую формулу:

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси Oу (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁