Нормальное уравнение прямой. Расстояние от данной точки до данной прямой

1. Нормальное уравнение прямой

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а   - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель  , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C.

2. Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Билет 29)Угол между двумя прямыми в трёхмерной геометрии. Критерий параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Критерии: Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.  Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.  Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 

Билет 30)

Обзор кривых второго порядка в : уравнения эллипса, гиперболы, параболы в каноническом виде, геометрический смысл входящих в них коэффициентов. Фокусы указанных кривых

Билет 31) Уравнение поверхностей вращения в . Канонический вид уравнений эллипсоида, гиперболоидов и параболоидов.

Билет 32 Понятие числовой последовательности. Предел последовательности, его единственность. Ограниченность сходящейся последовательности.

Билет 33)Важнейшие свойства сходящихся последовательностей: линейные свойства, предел произведения и частного двух последовательностей.

1)Сходящаяся последовательность имеет только один предел.  2)Сходящаяся последовательность ограничена. 3)Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.  4)Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Билет 34)Свойства пределов последовательностей, выраженных в виде неравенств. Теорема «о двух милиционерах». Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности и её применение к доказательству существования числа e.

Теорема о двух милиционерах

смотреть фотографию

Билет 35)Понятие предела функции по Коши и по Гейне. Линейные свойства предельного перехода. Пределы произведения и частного функций.

Билет 36) Понятие бесконечно малой функции. Критерий существования предела функции, выраженный в терминах бесконечно малых. Свойства суммы бесконечно малых и произведения бесконечно малой на ограниченную функцию.

Билет 37) Замечательные пределы:

Билет 38)Непрерывность функции в точке и внутри интервала. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций.

Если f(x) и g(x) непрерывны на множестве, то будет непрерывными и функции f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x), а также f(x)/g(x) при условии что g(x) <> 0 (не равно нулю) на этом множестве.

Доказывается методом "от противного" с использованием определения непрерывной(разрывной) функции

http://non-pro.ru/matan/page26.html брал отсюда

Билет 39)Две теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции, заданной на ограниченном замкнутом интервале. Проверка на примерах неулучшаемости условий теорем.

Доказательство 1: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b] .

Доказательство 2:Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой  теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d.

Билет 40)Понятие разрыва функции. Односторонние пределы функции. Классификация точек разрыва функции.