3.11. Обобщенный метод наименьших квадратов

I

I-

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреля­ции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS - Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т. е. методом GLS (Generalized Least Squares).

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют мень-

169

шие выборочные дисперсии. Специфика обобщенного МНК применительно к корректировке данных при автокорреляции ос­татков будет рассмотрена далее. Здесь остановимся на использо­вании обобщенного МНК для корректировки гетероскедастич­ности.

Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение ос­таточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается не­изменной для разных значений фактора, а пропорциональна ве­личине K_h т. е.

= о*' К„

где ст²^ — дисперсия ошибки при конкретном /-м значении фактора; _; о - постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о

Гомоскедастичности остатков; к{ — коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность диспер­сии.

При этом предполагается, что неизвестна, а в отношении величины К выдвигаются определенные гипотезы, характеризу­ющие структуру гетероскедастичности. В общем виде для уравнения

У; — а + b * x_f + е,- при о*_Е.« о² • К,-, модель примет вид: у,=

' В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафик­сированные в ходе /-го наблюдения на VA1 Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т. е. <r_s. = о².

Иными словами, от регрессии у похмы перейдем к регрессии

на новых переменных: _у/4к и x/VF . Уравнение регрессий примет вид:

й

IT IT IT

у^Л/ V^A' V^A/

17

0

У~

Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

У\		х\
Уг
	Х =
Уп
yl«n	•	4*п

По отношению к обычной рефессии уравнение с новыми, Преобразованными переменными представляет собой взвешен­ную регрессию, в которой переменные у их взяты с весами \/4к .

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших ква­дратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадра­тов отклонений вида

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

лi л; л

I

К

У i • _

к

.

Если преобразованные переменные хну взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии Ь можно опреде­лить как

_v 1

У—х-у

Ъ-К ° ——j •

_Z

1 2

X

К

17

1

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии Ь определяется по формуле

Ь =

5>

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.

Аналогичный подход возможен не только для уравнения пар­ной, но и для множественной регрессии. Предположим, что рас­сматривается модель вида

у = а + Ь_х • х_х + Ь₂ • х₂ + е,

для которой диЬперсия остаточных величин оказалась пропорци­ональна К²,. К, — представляет собой коэффициент пропорцио­нальности, принимающий различные значения для соответству­ющих / значений факторов х_х и х₂. Ввиду того, что

рассматриваемая модель примет вид

У; = Д + Ь_Х -Х_Х+Ь_г-Х_г.+ Ку'Е,-,

где ошибки гетероскедастичны.

Для того чтобы получить уравнение, где остатки е, гомоскеда- стичны, перейдем к новым преобразованным переменным, раз­делив все члены исходного уравнения на коэффициент пропор­циональности К. Уравнение с преобразованными переменными составит

K_t К, Kj Кi

«

Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:

fCf fCj Kf

172

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой I для коэффициента пропорциональности К*. В эконометрических f исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки I с, пропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении

y = a + b_x-x_x + b₂'X₂ + ... + b_p'X_p+E

предположить, что Е — е * х_и т. е. К = jc, и о²^ = о² • х_х, то обоб­щенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

— = />, + ^—£- + 6* Х_х X, Xj

V

Если предположить, что ошибки пропорциональны х_ру то мо­дель примет вид:

• *

у , , xi , *п-\

—-Ь_р +6, ———+£.

Хр Х_р Хр

I

t

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к то­му, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменны­ми. Вместе с тем следует иметь в виду, что новые преобразован­ные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным. Пример.

Пусть у — издержки производства, х_х — объем продукции, х₂ — I основные производственные фонды, х_ъ — численность работни­ков, тогда уравнение

*

у = а + Ь_х • х_х + Ь₂ • х₂ + й₃ • х₃ + Е

является моделью издержек производства с объемными фактора- ¹ мй. Предполагая, что сг_Е. пропорциональна квадрату численное- * ти работников х₃, мы получим в качестве результативного при- { знака затраты на одного работника (у/х₃), а в качестве факторов , следующие показатели: производительность труда (х,/х₃) и фондовооруженность труда (х^х^). Соответственно трансфор­мированная модель примет вид

173

У L. L ^X\ I_ ^X2 — = —^L + b₂——+ 6

^x3 ^x3 ^x3

где параметры b_u b₂, by численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение из­держек производства с изменением абсолютной величины соот­ветствующего фактора на единицу, они фиксируют при обоб­щенном МНК среднее изменение затрат на работника; с измене­нием производительности труда на единицу при неизменном уровне фондовооруженности труда; и с изменением фондовоору­женности труда на единицу при неизменном уровне производи­тельности труда.

Если предположить, что в модели с первоначальными пере­менными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, о².. = о² • х²,, можно перейти к уравнению регрессии вида

—=t\ ^+Е-

Х_х X,

В нем новые переменные: у/х_х — затраты на единицу (или на

1. руб. продукции), х₂/х_х — фондоемкость продукции, X3/X1 — тру­доемкость продукции.

Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мел­кие предприятия, большим объемным значениям фактора может соответствовать большая дисперсия результативного признака и большая дисперсия остаточных величин.

При наличии одной объясняющей переменной гипотеза

2. = сАс² трансформирует линейное уравнение

у = я + 6-х + е-х

в уравнение

У l ^а

в котором параметры а и Ь поменялись местами, константа стала коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент рег­рессии — свободным членом.

174

Пример. Рассматривая зависимость сбережений у от дохода х, до первоначальным данным было получено уравнение регрес- «и¹

у = -1,081 +0,1178х.

Л i Г

Применяя обобщенный МНК к данной модели в предполо- ении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено авнение для преобразованных данных:

— = 0,1026 - 0,8538 •—. х х

Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со вободным членом второго уравнения, т. е. 0,1178 и 0,1026 — щенки параметра Ь зависимости сбережений от дохода.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию [ошибки. Он представляет собой наиболее простой случай учета ероскедастичности в регрессионных моделях с помощью [обобщенного МНК. Процесс перехода к относительным величи­нам может быть осложнен выдвижением иных гипотез о пропор­циональности ошибок относительно включенных в модель фак­торов. Например, Ino².. = 1по² + Ъ • lnx + v, т. е. рассматривается характер взаимосвязи 1пе², от lnx. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей. Приме­нение обобщенного МНК позволяет получить оценки парамет­ров модели, обладающие меньшей дисперсией.

Контрольные вопросы к главе 3

1. Назовите, в чем состоит спецификация модели множествен­ной регрессии.

2. Сформулируйте требования, предъявляемые к факторам для включения их в модель множественной регрессии.

3. К каким трудностям приводит мультиколлинеарность факто­ров, включенных в модель, и как они могут быть разрешены?

4. Назовите методы устранения мультиколлинеарности факто­ров.

'См.: Лизер С. Эконометрические методы и задачи/Пер. с англ. — М.: Статистика, 1971. - С. 23.

175