Раздел парная регрессия и корреляция

1.1. Методические указания

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и

У = /(*).

где у - зависимая переменная (результативный признак);

х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

/

Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия: y = a+bx + z.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нели­нейные относительно включенных в анализ объясняющих перемен­ных* но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нели­нейные по оцениваемым параметрам. t Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней у = а+^ • х + Ь₂ х² + Ь_ъ • х^ъ + е;

• равносторонняя гипербола у = а+—+е.

х

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

L

• степенная у = а • х• е;

• показательная у - а • Ь^х • е;

• экспоненциальная у = е^а^^х • е.

min

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее парамет­ров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (MHR). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических у_х минимальна, т.е.

/

А

у - У

\

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линей- 4, решается следующая система относительно а и Ь:

па+Ь^х^ЪУ'

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытека­ют из этой системы:

ПРАКТИКУМ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ 1

Г = С+В х, . 14

1. д; = а + £х³+е, 36

+e₂. 43

[у\ =Sir*l+8i2-X2, 3

Qf = Pi + № + Рз Yt + Ч (спрос), 19

= а + bi • у,.₃ + Ьг • Ум + и„ 45

\ 26

и индекс корреляции р^ - для нелинейной регрессии (0 <р_ху < 1):

„ ₌ n-£k₌ Lib'-h? . ' ^л| ^ У Kv-y)²

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (ин­декс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

А =!х

У-У

100%

п

Допустимый предел значений А - не более 8 - 10%.

Средний коэффициент эластичности Э" показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от сво­ей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

Э=Г(х

У

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии за­висимой переменной

:

Uy - у)² = Z(у_х - у)² + Ну -у_х )²,

где - ~у)² - общая сумма квадратов отклонений;

- \Л² -сумма квадратов отклоненйй, обусловленная регрес- \Ух У) сией («объясненная» или «факторная»);

-у_х)² - остаточная сумма квадратов отклонений.

$

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R :

_R2 _ Ю_х-у)²

Ъ(У-У)² '

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индек­са корреляции.

F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F₍|_MUcr и критического (табличного) F^en зна­чений F-критерия Фишера. F^ определяется из соотношения зна­чений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

^Аакт ^{= =} т~(А2 — 2),

L(y - у)²/(п - т -1) 1-4

где п - число единиц совокупности;

т - число параметров при переменных х

»

fVa6л - это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимает­ся равной 0,05 или 0,01.

Если /Чабл < ^факг., то Но — гипотеза о случайной природе оцени­ваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если ^_табл > ^фмсг > то гипотеза Но не от­клоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов рег­рессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и до­верительные интервалы каждого из показателей: Выдвигается гипо­теза Hq о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их от личии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и кор реляции с помощью меритерия Стьюдента проводится путем сопос­тавления их значений с величиной случайной ошибки:

«

г

ост

2

Ь а г 1_Ъ ~ ; l _a ~ ; t_r =

т ь т _а т

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффици ента корреляции определяются по формулам: .

\1iy-hfkn-2) _ I 5₀²_ст _ 5

_m - ll(y-y_x)² I*² _ L X*²

^m°~^J (n-2) n^x-xf'f^n^l ⁰⁰¹ nc_x

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения г-статистики - г_таб_Л ^и 'факт ~ принимаем или отвергаем гипотезу Я₀.

Связь между F-критерием Фишера и /-статистикой Стьюдента выражается равенством

о о /——

t) = = VF.

Если г_табл < /факт» то Н₀ отклоняется, т.е. a_tb игху не случайно от­личаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t^ > *фает> то гипотеза Я₀ не откло­няется и признается случайная природа формирования а, Ъ или г^.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку А для каждого показателя:

~ 'табл^та » ~ 'табл^Ь-

в

*

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют еле дующий вид:У а . =*-^Да^;

"mm ^и

Уа ^{= а + А}а^;

"max

у_а-а±а_а;

У_ь=b±A_b;

УЬ +

шах ¹⁷

УЬ •

nun

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцени­ваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одно­временно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение у_р определяется путем подстановки в урав­нение регрессии у_х =а + Ь х соответствующего (прогнозного) зна­чения х_р. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза т р :

У

р

1 +

^ту_р ^=СТост

1 (^х_р-х)

^п Ъ(х-х)²

'

где ст_осг =

Жу ~УГ.

п-т-1 '

и строится доверительный интервал прогноз

а

Р 'Ртах ^{Р У}Р

mm

Ь=*Р^±АК' . ⁼Ур~^Ау_п> Ь

Р m

i

(

^{где А}у_п = 'табл ^ту