6. Теоремы сложения и умножения вер-тей

Суммой или объединением двух соб-й А и В наз такое соб-е А+В сост в наступлении хотя бы одного из соб-й А или В.

Произведением или пересечением двух соб-й А и В наз такое событие А*В или А В сост-щее в совместном наступлении соб-й А и В.

Разностью двух событий А и В наз такое соб-е С, к-рое сост-т в совместном наступлении соб-я А и ненаступлении соб В: С = А-В=А* ;

Т1: вер-ть суммы двух несовместных соб-й А и В равна сумме их вер-ти т.е. .

Следствие 1: сумма вер-тей соб-й образ-щих полную группу равна 1.

Следствие 2: Сумма вер-тей противоположных соб-й равна 1:

Т2: вер-ть суммы двух совместных соб-й А и В равна сумме их вер-ти без вер-ти их совместного наступл-я т.е.

Два соб-я будем наз независимыми если вер-ть одного из них не зависит от наступления и ненаступления другого. В противном случае событие зависит. В случае зависимых соб-й говорят об условной вер-ти.

Вер-ть соб-я В вычисленная при условии что имело место другое соб-е А наз условной вер-тью соб-я В и обознач-ся P(B/A),

Т3 (умнож-е вер-ти): вер-ть произведения (совмещения) соб-й А и В равна произведению вер-тей одного из них на условную вер-ть другого:

Неск-ко соб-й наз-т независимыми в совок-ти если каждое из них и любое призвед-е остальных есть соб-я независимые

7. Формула полной вер-ти и формула Байеса. Пусть соб. А может произойти только совместно с одним из событий , , …, Нn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно какое из этих событий произойдет, то их назыв. гипотезами. Тогда соб. А можно представить в виде А= А+ А+…+НnА. Здесь слагаемые попарно несовместные события. Поэтому согласно теорем сложения, умнож-я вер-ти получаем формулу полной вер-ти. Р(А)=Р( )Р(А/ )+…+Р(Нn)Р(А/Нn)= (Нi)Р(А/Нi), где Р(Нi)- вер-ть реализации i-й гипотезы. Р(А/Нi)- априорная (известная до проведения опыта) вер-ть соб. А в этом случае. Предположим, что в рез-те испытания соб. А произошло и нам надо выяснить как изменилась вер-ть какой-либо k-й гипотезы. Др. словами требуется найти условную вер-ть соб. Р(Нк/А)= – формула Байеса. Она дает возм-ть находить условную (апостериорную) после проведения опыта вер-ть k-й гипотезы по известным доопытным вер-тям гипотез Нi и условным вер-тям соб. А.

8. Повторные независимые испытания. Форм. Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в независ. повторных испытаниях. Пусть производятся испытания, в каждом из кот. может появиться соб. А. Если вер-ть соб. А в данном испытании не зависит от появления его в любом др., то такие испытания назыв. независимыми относит-но соб. А. Будем считать, что испытания происходят в одинак. условиях, а вер-ть появления соб. А, в каждом из них постоянна и равна Р(А)=р. Тогда вер-ть Рn(k) того, что в серии из n-независ. испытаний соб. А произойдет точно k-раз (или не произойдет n-k раз) определ-ся по формуле Бернулли: Рn(k)= * * , где = , q=1-р. Наивероятнейшее число наступления соб. А в n-независ. испытаниях, в каждом из кот. оно может наступить с вер-тью Р(А)=р (что тоже не наступит с вер-тью Р( )=1-р=q) определ-ся из двойного нерав-ва: np-q≤ ≤np+p.

9. Асимптотич. оценки форм. Бурнулли (приближ. локальная форм. Муавра-Лапласа и приближ. форм. Пуассона). При малых значениях n вер-ть находится по формуле Бернулли. Однако при больших n вычисл-я становятся громоздкими. В посл. случае пользуются локальной приближ. формулой Муавра-Лапласа: Рn(k)≈ .. * φ(x)= * . Приближ. рав-во тем точнее, чем больше n и чем ближе р к 0,5. Приближ. формула Пуассона: Рn(k)≈ * , где λ=np. Форм. Пуассона обычно применяют в тех случаях, когда λ≤10, а форм. Муавра-Лапласа когда λ>10. Форм. Пуассона исп-ся также для расчета вер-ти появления разл. числа событий (точек) в какой-либо области (в площади, объёме либо во времени). При этом должны соблюд-ся след. условия: 1.Точки в обл. распределены в общем равномерно. 2.Полож-е каждой точки случайное, независимо др. от др. 3.Точки наблюд-ся в обл. по одиночке, а не парами, тройками и т.д.

10. Асимптотич. оценки форм. Бернулли (приближ. интегральная форм. Муавра-Лапласа). В случае, когда число испытаний n достаточно велико, а числа и значит-но отлич-ся др. от др. для вычисл-я вер-ти удобнее исп-ть интегральную приближ. формулу Муавра-Лапласа: Рn( ≤ k ≤ )≈ Ф( )- Ф( ), где , Ф(х)= . Ф-цию Ф(х) назыв. ф-цией Лапласа. Для нее составлены таблицы при х≥0. Для х<0 польз-ся этими же таблицами, учитывая нечетность ф-ции Ф(х), т.е. Ф(-х)= -Ф(х). При х≥5 полагают Ф(х)= 0,5.

11.Понятие случайной величины (СВ). Виды СВ. Примеры. Случ. величиной будем назыв. некот. величину, принимающую в завис-ти от случая те или иные знач-я с определ. вероятностями. Примеры СВ: 1. Кол-во зерен в случ-но взятом колосе. 2. Кол-во отличных оценок у студентов одной группы на экзамене. 3. Глубина заделки семян при посеве. 4. Погрешность при измер-и той или иной величины (длины, массы, времени) и т.п. CВ подраздел. на 2 типа: 1. Дискретные. 2. Непрерывные. Дискретными назыв. CВ, принимающие изолир. др. от др. знач-я, кот. можно пронумеровать (см. пример 1,2). Непрерывной назыв. CВ, возможные знач-я кот. заполняют некот. числовой промежуток (см. примеры 3,4). CВ обычно обознач прописными (большими) буквами лат. алфавита (последними) Х, У, Z, … А их возм. знач-я- строчными х, у, z,…

12 Закон распредел СВ.Функ распредел СВ и её св-ва.Всякое соотнош,устанавливающее связь между знач-ми СВ и соотв вероят-ми наз законом распредел СВ.Зак распред дискрет СВ обычно задаётся рядом распред,под кот поним табл,где перечислены возможные знач СВ Х и соотв им вероятности Р: =1.Графич изображ данного ряда представлено многоугольником.Универсальный способ задания СВ Х:F(x)=P(X<x).Данное рав-во можно истолковать так:если значение СВ Х рассма-ть как точки числовой прямой Ох,то функ распред Р(х)определяет вер-ть попадания случ т.Х левее т.х.Функ распред F(х)для дискрет СВ Х имеет вид:F(x)= где нерав-во под знаком суммы указывает на то,что суммируются вер-ти тех значений,кот меньше х.Данная функ явл разрывной и представ собой ступенчатую линию.Св-ва функции распредел:1 0<=F(x)<=1 как вер-ть 2 функ распред F(x)явл неубывающей.т е F( )<=F( )при > 3 вер-ть попадпния СВ Х в интервал([а;в))равна разности знач её функции распред в концах этого промеж P(a<=X<в)=F(в)-F(а) 4функ F(х)непрерывна слева при люб х,т е 5функ распред F(х) определена на всё числовой прямой при этом , .Замечание:для люб СВ Х вер-ть Р(Х= )=F( )- F( ,а для непрерыв СВ Х Р(Х= )=F( )- )=F( )-F( )=0.Поэтому для непрерыв СВ Х справедлива цепочка равенств:P(а≤Х<в)=Р(а<Х≤в)=Р(а≤х≤в)=Р(а<х<в).

13 Плотность вер-й СВ и её св-ва.Плотность вер-ти наз предел f(x)= (1)при условии что он сущ-ет.Пусть F(x)функ распредел непрерыв СВ Хи сущ производная F´(x)при люб действит х.Тогда рав-во (1)равносильно f(x)= = =F´(x)т е плотность вер-ть непрерыв СВ Х равна производной от её функции распред.Поэтому f(x)наз дифференциальной функ распред,а F(x)-интегральной функ распред.Св-ва:1 f(x)≥0 как производ неубыв функ 2функ распред F(x)выражается через плотн вер-й f(x) по формуле F(x)= 3 вер-ть попад знач СВ Х в полуинтер [а;в)равна определ-му интегралу от плотности вер-ти f(x)по отрезку [а;в]:P(а≤Х<)= . 4несобствен интеграл от плотности вер-ти f(x)в пределах от -∞ до +∞ равен ,при этом если СВ Х принем знач из отрезка [а;в]то .График функции f(x)наз кривой плотности распредел вер-й СВ Х или просто кривой распред.

14Числовые хар-ки СВ.Св-ва матем ожид СВ. Матем ожид дискретной СВ наз сумму произведен значений СВ на соотв им вер-ти М(Х). М(Х)= .Св-ва матем ожид:1матем ожид пост велич=этой пост,т е М(С)=С,С=const 2пост множитель можно выносить за знак матем ожидан.т е М(СХ)=СМ(Х)3матем ожид алгебраич суммы 2-х СВ Х и У=алгебраич сумме их матем ожидан М(Х У)=М(Х) М(У)4матем ожид произвед 2-х независ СВ Х и У равно произвед их матем ожид М(ХУ)=М(Х)М(У).Дисперсией наз матем ожид квадрата отклонения СВ Х от её матем ожид,т е D(X)=M .Дисперсия как мера разброса знач СВ облад тем недостатком,что её размерность не совпад с размерностью СВ поэтому вводят ещё одну хар-ку с размерностью совпад с размерностю СВ-среднее квадратич отклон,определяемое как .

15 Св-ва дисперсии СВ.Мода,медиана,начальный и центральный моменты r-го порядка СВ.Св-ва дисперсии:1дисперсия пост величины равна 0 D(C)=0.C=const 2пост множитель можно выносить из под знака дисперсии предварит вознеся его в квадрат D(CX)= D(X) 3дисперсия алгебраич суммы СВ Х и У равна сумме их дисперсий D({+-Y)=D(X)+D(Y).Модой дискретн СВ Х наз её наиболее вероятн знач.а для непрерыв СВ Х наз такое её знач .для кот f( )=max{f(x)}.Медианой СВ Х наз такое её знач,для котвер-ть Р(Х<Ме)=Р(Х>Ме).В случае симметрич распред СВ мода и медиана совпад с её матем ожид-м симметрич распредел.Начальным моментом r порядка СВ Х наз матем ожид r степени этой СВ т е =М( )/Центр моментом r порядка СВ Х наз матем ожидан r степени отклонения этой велич от её матем ожид т е =M .

16 Биномиальное распредел и распред Пуассона.Пусть производн n независ повт испыт,в кажд из кот вер-ть появлен соб А пост-на и =р.Тогда СВ Х,лзначающ число появлен соб А в n-испытаниях может принем знач 0,1….,n с вер-ми,вычисл по форм Бернули: (X=R)= ,g=1-p.Такое распред дискретн СВ наз биномиальным.Параметрами бином распред явл n и p.Кратко бином распр запис:Х В(n,р).Матем ожид и диспер бином-й СВ Х равны:М(Х)=nр,D(X)=npg.Функ распред F(х)бином СВ имеет вид:F(x)={0,х≤0 { ,0<x≤n {1,x>n.Если в бином распред вер событ А(или не А)в одном испыт=р(или g)и очень мала,но число испыт n достат велико,причём произвед np сохраняет пост знач,а именно np=ʎ,то СВ Х может принем знач 0,1….,n с вер-ми вычисляемыми по форм Пуассона: (X=R)= * ,ʎ=np.Парам распред Пуас явл пост велич ʎ,которой равны матем ожид и диспер:М(Х)=D(X)=ʎ.Поэтому расп Пуас может служить оценкой точного бином распред дискрет СВ,если её матем ожид мало отлич от дисп.Функ распр СВ Х расп-го по зак Пуас:F(х)={0,x≤0 { * ,0<х≤n {1,х>n.

17.Равномерн.распред.

Непрерывн.СВ Х назыв.равномерн.распред.на отр.(а;в) если плотность вероятн.этой величины постоян.на данном отрезк.и равна 0 вне этого отрезка.Пользуясь свойствами плотности вероятности f(x) не трудно установить что плотн.вероятн.равномерно распред.СВ Х имеет вид:f(x)= , x .Функция распред.F(x) равномерно распред.СВ имеет вид:F(x)= ,x<a,a≤x≤b,x>b.Матем.ожид.и дисперсия равномерно распред.СВ Х на отр соотв.равны М(Х)=а+в/2,Д(Х)=(в-а)² /12.Равномерн.зак-н распред.примен.при работе с округл.числами.Напр.если число округл.до целого,то ошибка округл.распред.равномерно на отр.(-0.5;0.5).Показат.з-н распредел.Если плотность распред.непрер.СВ выраж.функц.F(x)= ,x<0,x≥0(λ>0),то говорят что СВ Х имеет показат.распределение с параметром λ.Функц.распред.F(x) СВ Х распред.по показат.закону имеет вид:F(x)= ,x<0,x≥0.Матем.ожид.и дисперсия показат.СВ Х соотв.равны:М(Х)= , Д(Х)= .Показат.з-н распред.примен.в теории массового обслужив.по этому зак-ну распред.время ремонта,время простоя в очереди,время обслуживания.