27. Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совок-ти наз его приближённое знач-е вычисленное по данным выборки и зависящее только от них.

Чтобы оценка давала хорошие приближения, она должна быть несмещённой, эффективной, состоятельной.

Статист оценка параметра наз несмещённой если её матем ожидание равно оцениваемому параметру т.е. М( ) = .

Оценка наз эффект-ной если при данном объёме выборки n она имеет наименьшую дисперсию.

Оценка наз состоят-ной если при она стремится по вероятности к оцениваемому параметру т.е. при любом положении (

28 Выбороч хар-ки статистич распред.

Выборочное среднее вычисл по формуле:хсреднее= .Среднее арифм указ на то,какое знач признака наиб хар-но для дан совок.Главн особ совок явл наличие разнообраз между её членами.т е вариации,для опред кот пользуются выбороч диспер: = .Исправленная дисперсия: = ,кот обычно польз при малых выборках.Исправленное среднее квадратич отклон:S= .Средняя ошибка: = .Для сравнения разброса признаков около выбороч средней в разных выборках польз коэф вар:V= *100%исп когда призн имеют разн ед измер.Начальн момент r-го пор призн х наз велич: = .Центр момент r-го пор: = .

29. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность (надежность) и доверительные интервалы.

Точечной назыв оценку, кот опред одним числом. При малых объемах выборки точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемого параметра. При введении состоят оценки параметра следует лишь то, что при увел-ии объема выборки знач P( , >0 приближается к 1. Поэтому возникают вопр:

1.При каких n заданная точность гарантирована заранее принятой вероятности.

2.Какова точность оценки при известном объеме выборки n и заданной вероятности безошибочного вывода?

3.Какова вероятность безошибочного вывода, при известном объеме выборки n и точность оценки ?

Поэтому наряду с точечными оценками пользуются еще и интервальными, кот опред 2 числами – концами интервала.

Доверительная вероят-ть (ДВ) или надёжностью оценки параметра от будем назыв вероятность выполняющее неравенство , т.е. P( = (1)

Обычно надёжность оценки задается наперед, причём число берут близкой к 1 (наиболее часто берут надёжность равной 0.95, 0.99, 0.999 и т.д.)

Разность 1- = показывает с какой вероятностью заключение о надёжности оценки ошибочно и назыв ур-нем значимости.

Поскольку - < - < < + , то равенство (1) примет вид:

P( - < < + (2)

Равенство (2) понимают как вероятность того, что интервал

I= ( - ; + (3) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр . Интервал (3) называют доверительным интервалом (ДИ) соответствует ДВ (или ур-нем значимости )

30.Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть колич. признак X генер. Совокупн. распределен норм, причем среднеквадрат отклонение σ этого распред. известно. Требуется оценить неизвестное МО a по выборочному среднем . Найдем доверительные интерв, покрывающие параметр a с надежностьюγ.Будем рассматривать выборочное среднее ., как случайную величину . (т.к. . меняется от выборки к выборке), и выборочные значения , как одинаково распределенные независимые случайные величины (эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно a и среднее квадратическое отклонение – σ. Так как случайная величина X распределена нормально, то и выборочное среднее . также распределено нормально. Параметры распределения . равны: Потребуем, чтобы выполнялось соотношение , где γ– заданная надежность.Используем формулу .Заменим X на . и σ на и получим: ,где .Выразив из последнего равенства δ, получим: .Так как вероятность P задана и равна γ, окончательно имеем: Смысл полученного соотношения – с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a, причем точность оценки равна .Таким образом, задача решена. Число t определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят аргументt, которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ/2.Следует отметить два момента: 1) при возрастании объема выборки n число δ убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки приводит к увеличению t (так как функция Лапласа – возрастающая функция) и, следовательно, к возрастанию δ, то есть увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью δ и надежностью γ, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле , следующей из равенства .Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсииПусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину , которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. В последнем выражении – – выборочное среднее,S– исправленное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид ,где некоторая постоянная, выражающаяся через гамма–функции. Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров α,σ. Поскольку – четная функция от t , то вероятность выполнения неравенства определяется следующим образом: .Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала: Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр a с надежностью γ. По таблице распределения Стьюдента и заданным n и γ можно найти , и, используя найденные по выборке и S, можно определить доверительный интервал.

2.19 Правило трех сигм При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D: Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа: Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее. На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.