Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида A x+ B y+ C z+ D= 0 где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x₀, y₀, z₀) и вектора нормали плоскости n= {A; B; C}можно использовать следующую формулу. A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x1	y - y1	z - z1	= 0
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1
x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т. е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем , т. е. или

         (12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости. Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на п лоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Пусть ОК = p, а α, β,  — углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора  на направление вектора  всегда равно р:  , т. е.  или

     (12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e, уравнение (12.8) перепишем в виде

        (12.9)

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на норми­рующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

5. вопрос: Скалярное произведение векторов. Его свойство. Приложение скалярного произведения векторов ( работа, произведение одного вектора на другой, угол между векторами) Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению . Определение. Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора . 6.2. Свойства скалярного произведения     1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

 

Решение:                                                              5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0b, то а b

. 6.3. Выражение скалярного произведения через координаты Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

  

    т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат. Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны. Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов: АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0. Отсюда следует, что ACBD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения Угол между векторами Определение угла φ между ненулевыми векторами а= (a_x; a_y; a_z) и b=( b_х; b_у; b_г):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора ана направление, заданное векторомb, может осуществляться по формуле Работа постоянной силы Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол  с перемещением АВ= S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А=F•S•cos   т. е.   А=(F•S). Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример 6.3. Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияA(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?

6. вопрос: ассимптоты графика функции (вертикальные, наклонные) Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .     

Пример 7.1   Рассмотрим функцию . График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.2   Рассмотрим функцию . Её график имеет вертикальную асимптоту , так как при . То, что при функция не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, при .)

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции Пример 7.3   Рассмотрим функцию . Прямая является вертикальной асимптотой графика , так как при . Заметим, что слева от точки функция вообще не определена.     

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.4   График функции не имеет при вертикальной асимптоты, так как  -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция  -- имеет вертикальную асимптоту .     

Рис.7.4.График функции не имеет вертикальной асимптоты

        Пример 7.5   Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции , поскольку здесь нельзя утверждать, что при или функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях значения могут быть как угодно велики, однако при других малых функция обращается в 0: так, при ( ) значения функции равны и стремятся к бесконечности при , а при всех вида ( ) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки при увеличении попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция не является бесконечно большой при , и прямая  -- не асимптота.     

Рис.7.5.График функции не имеет вертикальной асимптоты Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности. Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия: 1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если 1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если

или

соответственно. Пример 7.6   Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при . Действительно,

при

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при .     

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции Пример 7.7   График функции имеет горизонтальную асимптоту как при , так и при , поскольку, очевидно, при . Можно сказать также, что асимптота при у этого графика совпадает с асимптотой при .     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции

7. вопрос: Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие вогнутости/ выпуклости.

График дифференцируемой функции y = f (x)

называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке < а, в > , если соответствующая часть кривой y = f (x) (x Î < a, b >) расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке M (x, f(x)).

Рис. 12.1.

 

Определение 12.1^/ y = f (x) (x Î < a, b >) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке < а, b >, если соответствующая часть кривой y = f (x) расположена ниже касательной, проведенной в любой точке M (x, f (x)).

Рис. 12.2.

 Теорема 12.1. (Достаточные условия выпуклости графика)

1. Если для дважды дифференцируемой функции y = f (x) вторая производная f^² (x) > 0 " x Î < a, b> , то график этой функции выпуклый вниз в данном промежутке.

2. Если f^² (x) < 0 (x Î < a, b >), то график у = f (x) выпуклый вверх.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f^² (x) > 0 при а < х < в и х_о Î< а, в >. Сравним ординату в точке х функции у = f (x) с ординатой ее касательной в точке х_о

. (12.1)

Рассмотрим (12.2)

Используя теорему Лагранжа, будем иметь

f (x) - f (x_o) = f^/ (x ) (x - x_o), где x Î (x_o, x),

тогда получаем

d = (x -x_o ) [f^/ ( x ) - f^/ (x_o) ] (12.3)

Далее, f^²(x) = [f^/ (x)]^/ > 0 Þ f^/ (x) возрастает.

Пусть х < х_о , тогда x < x_o и, следовательно, в силу возрастания f^/ (x) имеем f^/ (x) < f^/ (x_o) из (12.3) имеем, что d > 0.

 

 Рис. 12.4.

 

Если теперь x > x_o Þ x > x_o, поэтому f^/ (x) > f^/ (x_o), но d > 0 снова.

То есть при x ¹ x_o, имеем , то есть так как x_о - произвольная точка, то при " х Î < а.в > кривая y = f (x) расположена выше своих касательных и, значит, график y = f (x) выпуклый вниз.

(2. Доказать самостоятельно )

  Определение 12.2. Точкой перегиба графика дифференцируемой функции y = f (x) называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот. Теорема 12.2. Если для функции y = f (x) в некоторой точке x_о f^² (x_o ) = 0 и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка М(х_o,f(x_o)) является точкой перегиба функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f^² (x_o ) = 0 в точке М (х_о , f (x_o)) меняет свой знак, для определенности, с “+” на “ -”. Тогда левее точки х_о

(х < х_о) f^² (x) > 0, а поэтому при х_о - e < х < х_о график этой функции выпуклый вниз.

Для х > х_о, т.е. при х_о < х < х_о + e у = f (x) выпукла вверх (Ç).

 Таким образом, в точке М кривая y = f (x) меняет вогнутость; согласно определения М - точка перегиба.

З а м е ч а н и е. В точке перегиба х_о функции y = f (x) f^² (x) может также не существовать; например, обращаться в бесконечность.

 

Рис. 12.5.

 Пример. (Кривая Гаусса).

.

Тогда и , решая уравнение

получим . Таблица 12.1.

x	(-¥; - )	-	(- ; )		( ; +¥)
y//	+	0	-	0	+

Следовательно, точки точки перегиба

8. вопрос: Теоремы Голля, Ла Гранта, Коши.

9. вопрос: Производная функции. Ее геометрический смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.