Уравнение линии

 Линией на плоскости назовём геометрическое место точек на плоскости, координаты которого удовлетворяют некоторому условию. Функция, которая каждому числу по некоторому правилу ставит в соответствие пару чисел, называется уравнением линии. Уравнение линии в неявной форме в декартовой системе координат представляется соотношением F(x, y) = 0. Уравнение линии в явной форме в декартовой системе координат представляется соотношением y = f (x). Уравнение линии в параметрической форме представляется соотношениями

Следует отметить, что не каждое соотношение, связывающее переменные х и у, определяет линию на плоскости: так соотношение х² + у² = − 1 не определяет на плоскости ничего.

Общее уравнение прямой линии на плоскости

 Линия, координаты точек которой удовлетворяют уравнению вида A·x + B·y + C = 0 является прямой линией на плоскости. Величины А, В и С являются параметрами линии.

Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению

 Пусть дана точка М₀(x₀, y₀) и некоторый вектор N (A, B). Составим уравнение прямой линии, проходящей через данную точку и перпендикулярной заданному вектору. Для этого выберем произвольную точку М(x, y) на прямой. Тогда вектор

будет перпендикулярен вектору N (A, B). Записывая признак перпендикулярности векторов в координатной форме, получим A·( x - x₀ ) + B·( y - y₀ ) = 0.  Раскрывая скобки, получим общее уравнение прямой линии на плоскости

A·x + B·y + C = 0,

где С = − А·x₀ − B·y₀. Из этого уравнения виден смысл коэффициентов А и В – они являются координатами вектора, перпендикулярного прямой (являются координатами нормального вектора).

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

 Выведем уравнение прямой линии, проходящей через две заданные точки M(x₀, y₀), M₁(x₁, y₁).

Для этого выберем на прямой произвольную точку М(x, y). Векторы и будут коллинеарными. Признаком коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат

.

Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.  

Уравнение прямой линии в отрезках на осях

 Выведем уравнение прямой линии, если известны точки пересечения прямой с осями координат А(а, 0) и В(0, b). Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки

.

В данном случае

Из этого уравнения легко получаем

— это и есть уравнение прямой в отрезках на осях: параметр b определяет точку пересечения прямой с осью OY, параметр а – с осью OX. Действительно, при x = 0 получаем y = b.

Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Запишем уравнение прямой линии, пересекающей ось ординат в точке А(0, b), и образующей с осью абсцисс угол .

 Выберем произвольную точку M(x; y) на прямой. Из Δ ABC имеем

.

Откуда далее

.

Если ввести обозначение углового коэффициента прямой

k = tg φ,

получим окончательно уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = k·x + b.

З а м е ч а н и е. Этим уравнением нельзя пользоваться, если прямая перпендикулярна оси абсцисс, так как в этом случае угловой коэффициент такой прямой не определён. 

Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты и путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты и могут быть переведены в полярную координату :

(по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

• Для , может быть произвольным действительным числом.

• Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в . Обычно выбирают интервал или .

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями ( обозначает обратную функцию к тангенсу):

Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:^[14]

18 вопрос: Взаимные расположения прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

 

                                           рис.6.

    

                                           рис.7 рис.8

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                         

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,    –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке, координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки. Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости. Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости. Теорема доказана. Прямая и плоскость в пространство могут:

• а) не иметь общих точек;

• б) иметь ровно одну общую точку;

• в) иметь хотя бы две общие точки.

На рис. 30 изображены все эти возможности.

В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || .

В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.

В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .

19 вопрос: Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Различные формы уравнений прямой в пространстве.

 Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду

a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x₀; y₀; z₀) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), такие что x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠ z₂ то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x- x1	=	y- y1	=	z- z1
x2 - x1		y2 - y1		z2 - z1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x= l t+ x0
	y= m t+ y0
	z= n t+ z0

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n}- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(x₀, y₀, z₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n= {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x- x0	=	y- y0	=	z- z0
l		m		n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

	A1x+ B1y+ C1z+ D1 = 0
	A2x+ B2y+ C2z+ D2 = 0

при условии, что не имеет место равенство

A1	=	B1	=	C1	.
A2		B2		C2

20 вопрос: Смешанное произведение векторов и его свойство.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов. Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами.

• a· [b× c] = b· [c× a] = c· [a× b] = -a· [c× b] = -b· [a× c] = -c· [b× a]

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти векторами компланарные. Пример1. Найти смешанное произведение векторов a= {1; 2; 3}, b= {1; 1; 1}, c= {1; 2; 1}. Решение:

a· [b× с] =	1	2	3	=
	1	1	1
	1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

21 вопрос: Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ). Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

, или .

Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ). Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

. Если векторы и заданы своими координатами:

, , то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

. Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

. Угол между векторами

, , дается формулой , или в координатах

. Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула

.

22 вопрос: Обратная матрица, ранг матрицы, решение СЛАУ матричным методом.

   Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .          Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Если матрица имеет обратную, то и .

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то . По   , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .     

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

   и

Следовательно, .     

Пусть дана матрица размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .         

        Пример 14.9   Пусть .

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, ,  -- миноры первого порядка. Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ;

2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ;

3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка: строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ;

2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A). Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы. Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы. Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка . Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров. Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю). Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум. Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка. И так далее. Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n. Пример. Найдите ранг матрицы . Решение. Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы. Минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их штук. Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум. Ответ:Rank(A)=2. Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе. Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров. Разберемся с понятием окаймляющего минора. Говорят, что минор М_ок (k + 1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, соответствующая минору М_ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M. Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M_ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца. Для примера рассмотрим матрицу и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры: Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства). Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю. Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка , находится по формуле . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров. Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода. Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2. Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k, если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n), если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1).Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере. Пример. Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров. Решение. Так как элемент a_{1 1} матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля: Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их штук): Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум. Ответ: Rank(A) = 2.