23.Деформация при сложном напряженном состоянии.

Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке. Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние в точке. Деформированное состояние, так же как и напряженное состояние, определяется шестью числовыми величинами.

что величины данных деформаций будут определяться следующим образом:

ε_прод=ΔL/L

ε_попер= Δa/a. Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной,

ε_попер=μ ε_прод

где μ —безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона.

Это изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повернутся отрезки АВ и AD. Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига. АВ . Построим на нем, как на диагонали, вспомогательный прямоугольник AKBL, стороны которого KB и AL ориентированы по продольной оси стержня.

Вследствие продольного удлинения точка В переместится вправо и отрезок А В повернется на угол

cos α ВВ₁/АВ = ε_прод cos α ВК/АВ В результате поперечного сужения отрезок АВ получит дополнительный угол поворотаsin α В₁В₂/АВ = ε_попер sin α АК/АВ. Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ: ω _α= (ε_прод + ε_попер) sin α cos α или ω _α= (1+ μ) sin 2 α σ /2 Е. Изменяя угол α на π/2, найдем угол поворота отрезка AD: ω _{(α+ π/2)}= - (1+ μ) sin 2 α σ /2 Е .Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательноγ _α =ω _α - ω _{(α+ π/2)} = (1+μ) sin 2α σ /Е. Сопоставляя выражение γ _α с выражением τ_α=σ/2 sin 2α ,выведенным для напряжения τ_α, замечаем, что угол сдвига между плоскостями А В и АС независимо от α пропорционален касательному напряжению, т. е. γ _α = 2 (1+μ) τ_α /Е. Это соотношение в случае изотропного материала является единым для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гука для сдвига. Опуская индекс α, напишем последнее выражение в виде γ = τ /G . где величина G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода: G = Е /2 (1+μ)

24.Диаграмма напряжений. Модуль упругости, относительное удлинение.

Зона ОА носит название зоны упругости. В ней материал подчиняется закону Гука и ∆L=P L /E F .Зона АВ называется зоной общей текучести, а участок АВ диаграммы — площадкой текучести. Здесь происходит существенное изменение длины образца без заметного увеличения нагрузки. Зона ВС называется зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным, чем на упругом участке. В стадии упрочнения на образце намечается место будущего разрыва и начинает образовываться так называемая шейка — местное сужение образца . CD называется зоной местной текучести. Точка D соответствует разрушению образца.

Поскольку у нагруженного стержня напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, деформации ε по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине L: ε= Δ L / L . Эта величина начинается относительным удлинением стержня. В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями: s=Е ε Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. модулем сдвига или модулем упругости второго рода: G = Е /2 (1+μ)