8. Решение произвольных систем. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а остальные называются свободными и переносятся в правую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы.

9. Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.

Система линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;

{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где а_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные

am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены

№10 Векторы. Операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор

Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

11. Декартова и полярная система координат.

1.На плоскости строятся две взаимно перпендикулярные прямые – оси, которые масштабируются. Начальной точкой отсчета является точка пересечения прямых. Направо и вверх по осям откладываются положительные значения, налево и вниз – отрицательные. Каждой точке М на такой координатной плоскости соответствует пара значений переменных(х, у) и обратно: каждой паре значений переменных(х,у) соответствует на плоскости одна точка. Совокупность таких точек будет представлять собой график функции.

2.на плоскости берется произвольная точка О – полюс. Из него выходит полупрямая – полярная ось. Каждой точке М на плоскости ставится в соответствие число р(р ), выражающее расстояние точки М от полюса, и число – величина угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью .Причем это соответствие, как и в случае с декартовой системой координат при условии( ), является взаимно – однозначным. Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки. Числа р и называются полярными координатами точки М. Уравнение р=f( ) в полярной системе координат определяет некоторую линию.

Легко установить связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох – с полярной осью. Следует: х=рcos , y=psin и обратно р= , =arctg(y/x).