8.Эквивалентные бесконечно малые величины и их св-ва

Определения

Пусть и — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки , причем в этой окрестности не обращается в ноль. Говорят, что:

является «O» большим от при , если существует такая константа , что для всех из некоторой окрестности точки имеет место неравенство ; является «о» малым от при , если для любого найдется такая проколотая окрестность точки , что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение в окрестности точки ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

Обозначение

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f(x) = O(g(x)) (соответственно, f(x) = o(g(x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

f(x) = O(g(x)) (или f(x) = o(g(x))),

но выражения

O(g(x)) = f(x) (или o(g(x)) = f(x))

бессмысленны.

Другой пример: при x → 0 верно, что

O(x²) = o(x),

но неверно, что

o(x) = O(x²).

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O( ) и o( ) как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме

x² + x³ ∈ O(x²)

или

вместо, соответственно,

x² + x³ = O(x²)

Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х  а. Будем обозначать эти функции ,  и  соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.Определение. Если , то функция  называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция . Определение. Если , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка. Определение. Если то функции  и  называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают  ~ .Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x. т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x. Определение. Бесконечно малая функция  называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля. Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы. Пример. Если , то при х0 , т.е. функция  - бесконечно малая порядка 2 относительно функции . Пример. Если , то при х0 не существует, т.е. функция  и  несравнимы.Свойства эквивалентных бесконечно малых.1)  ~ , 2) Если  ~  и  ~ , то  ~ , 3) Если  ~ , то  ~ , 4) Если  ~ ₁ и  ~ ₁ и , то и или .Следствие: а) если  ~ ₁ и , то и б) если  ~ ₁ и , то Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х  0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим: Пример. Найти предел .Так как 1 – cosx = при х0, то . Пример. Найти предел Если  и  - бесконечно малые при ха, причем  - бесконечно малая более высокого порядка, чем , то  =  +  - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно доказать следующим равенством .Тогда говорят, что  - главная часть бесконечно малой функции . Пример. Функция х² +х – бесконечно малая при х0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем  = х²,  = х, тогда .