3. Перетворення Лапласа

Хевісайд не дав строгого|суворого| математичного обгрунтування свого методу. Це було зроблено пізнішим за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. В результаті|унаслідок,внаслідок| такого перетворення функція , залежна від змінної і звана оригіналом, перетвориться у функцію, звану зображенням (вона залежить від комплексної змінної ):

. (9.5)

Зворотне перетворення Лапласа визначається формулою:

. (9.6)

Щоб інтеграли (9.5) і (9.6) сходилися, оригінал повинен задовольняти наступним|таким| умовам.

1. – однозначна, безперервна або шматково-безперервна разом з своїми похідними -го порядку|ладу| при ;

2. росте|зростає| не швидше, ніж деяка показова функція, що означає існування таких постійних позитивних чисел і , не залежних від , при яких для всіх ;

3. при .

Відповідність між зображенням і оригіналом позначають|значать| таким чином:

або ,

, .

Крім зображення по Лапласу застосовується також зображення функції по Карсону (або по Хевісайду)

,

що відрізняється від перетворення Лапласа множником . Останнім часом в технічній літературі все частіше користуються зображенням по Лапласу. Це пояснюється наявністю наочного|наглядного| зв'язку між операторним методом і гармонійним аналізом, що вносить фізичний сенс|зміст,рацію| в поняття зображення (зображення по Лапласу – це спектральна функція по відношенню до затухаючої функції , для якої змінна є|з'являється,являється| частотою).

4. Властивості зображень

• Якщо два зображення і співпадають|збігаються|, то співпадають|збігаються| між собою і відповідні оригінали в усіх точках, за виключенням|винятком|, мабуть, точок розриву.

• Всяке|усяке| зображення при є|з'являється,являється| аналітичною функцією, тобто|цебто| може бути розкладено в статечній|поважній| ряд|лаву,низку| і отже, необмежене число раз інтегроване і що диференціюється у області збіжності ряду|лави,низки|.

• Властивість лінійності: якщо і при цьому , , , то .

5. Зображення деяких функцій

1. Функція Хевісайда :

Безпосереднім інтегруванням знаходимо|находимо|

. (9.7)

2. Зображення показових функцій:

, (9.8)

. (9.9)

Якщо , де , то і .

3. Зображення гіперболічних функцій:

, (9.10)

. (9.11)

3. Зображення тригонометричних функцій:

, (9.12)

. (9.13)

3. Зображення функції: .

. (9.14)

3. Зображення похідних від функції легко одержати|отримати| за допомогою інтегрування по частинах|частках|:

Звідси слідує|прямує|:

. (9.15)

Аналогічно можна одержати|отримати|:

, (9.16)

, (9.17)

. (9.18)

7. Зображення інтеграла від функції:

Хай і |нехай і|, причому

.

Оскільки |тому що|, то .

Оскільки , то . Остаточно маємо:

. (9.19)

6. Основні теореми операційного числення|обчислення|

В більшості випадків застосування|вживання| операційного числення|обчислення| до рішення задач укладається|вкладається| в наступну|таку| схему. Хай|нехай| потрібно знайти деякий результат у вигляді функції , для отримання|здобуття| якого без використання операційного методу треба над заданою функцією виконати якусь операцію A.

Застосовуючи операційне числення|обчислення|, спочатку переходять від оригіналу до його зображення , а потім над цим зображенням виконують операцію B, відповідну у області оригіналів операції A (наприклад, ділять зображення на замість інтеграції функції ), і одержують|отримують| проміжний результат – зображення . Потім переходять від зображення до шуканого оригінала .

На перший погляд, схема рішення задачі подовжується|довшає|. Проте|однак| насправді виходить значний виграш як в засобах|коштах| обчислення|підрахунку|, так і в часі. Зокрема, скрізь|всюди| диференціювання замінюється множенням на , а інтеграція – діленням|поділкою,розподілом,поділом| на .

Цей виграш досягається шляхом застосування|вживання| основних теорем операційного числення|обчислення| і відомих «табличних» зображень, що публікуються в довідниках.

Розглянемо|розгледимо| основні теореми операційного числення|обчислення|.

Теорема 9.1. (про диференціювання зображення).

Якщо , то .

Доказ: .

Слідство|наслідок| 9.1.1: .

Слідство|наслідок| 9.1.2: . (9.20)

Приклад|зразок| 9.3. Знайти зображення функції . Оскільки , то .

Теорема 9.2. (про інтеграцію зображення).

Якщо , то .

Доказ. Позначимо і . Очевидно, що , і по попередній теоремі:

.

Звідси слідує|прямує|: .

Постійна інтегрування визначається з|із| умови: .

.

Таким чином

.

Теорема 9.3. (про зміну масштабу).

Для завжди .

Доказ. Позначимо . Тоді

.

Приклад|зразок| 9.4. Відомо, що . Знайти зображення функції .

.

Теорема 9.4. (запізнювання).

Якщо і , то .

Доказ. Позначимо . Тоді

.

Теорема 9.5. (попередження).

Якщо і , то .

Доказ. Позначимо . Тоді

Теорема 9.6. (зсуви|зміщення|).

Якщо і , то .

Доказ.

.

Теорема 9.7. (про згортку).

Якщо і , то

.

Зауваження. Інтеграл називається згорткою| функцій і , і позначається|значиться|: . Можна показати, що згортка двох оригіналів також є|з'являється,являється| оригіналом.

Доказ теореми про згортку.

Приклад|зразок| 9.5. Застосовуючи теорему про згорток, знайти оригінал зображення:

.

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Маємо

, .

Тому .

Теорема 9.8. (перша теорема розкладання).

. (9.21)

Доказ. Формула (9.21) прямо виходить з формули (9.20).

Приклад|зразок| 9.6. Знайти оригінал зображення .

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|. Відомо, що логарифмічна функція може бути розкладена в наступний|слідуючий| статечною|поважною| ряд|лаву,низку|:

.

Відповідно до першої теореми розкладання одержуємо|отримуємо|:

.

Теорема 9.9. (друга теорема розкладання).

Якщо – раціональний правильний нескоротний дріб, а – просте (не кратні) коріння рівняння: , то

(9.21)

де .

Доказ. Перш за все|передусім|, відмітимо|помітимо|, що вимога правильності дробу в даній теоремі обов'язково, оскільки|тому що| цей дріб – зображення, і повинно бути виконано умову .

Далі відомо, що у разі|в разі| простого коріння знаменника правильний раціональний дріб може бути розкладений на прості таким чином:

.

Для знаходження коефіцієнта помножимо обидві частини|частки| рівності на ( ):

.

Введемо|запровадимо| позначення , тоді попередню рівність можна записати у вигляді|виді|:

.

Вважаючи |гадаючи|, знайдемо . Подібно до цього обчислюється|обчисляється,вичисляє| і решта коефіцієнтів розкладання. Використовуючи теорему зсуву|зміщення|, приходимо до формули (9.21).

Приклад|зразок| 9.7. Знайти оригінал для зображення .

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|: – правильний раціональний нескоротний дріб, причому

,

.

Коріння знаменника: .

.

, , .

.

Тут ми застосували формулу Ейлера: .

Приклад|зразок| 9.8. Вирішити|розв'язати| диференціальне рівняння

за початкової умови: , – константи.

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|: Для вирішення використовуємо операційне числення|обчислення|. Рівняння в зображеннях

.

Вирішуючи|рішаючи| його відносно , одержимо|отримаємо| . Застосуємо другу теорему розкладання.

; ; .

; .

.

Приклад|зразок| 9.9. Вирішити|розв'язати| диференціальне рівняння

за початкових умов: , .

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|: Рівняння в зображеннях

.

Підставляємо початкові умови:

.

Вирішуємо|рішаємо| одержане|отримане| рівняння як звичайне|звична| алгебраїчне

.

Здійснюємо|скоюємо,чинимо| зворотне перетворення по формулі:

.

; ;

, .

; , .

.

Приклад|зразок| 9.10. Обчислити|обчисляти,вичислити| інтеграл

.

Знайдемо зображення цього інтеграла

.

Звідси слідує|прямує|: .