5. Теореми дискретного операційного числення|обчислення|

Теоремам безперервного операційного числення|обчислення| можна поставити у відповідність теореми дискретного операційного числення|обчислення|. Приведемо декілька таких теорем.

Теорема 11.7. Якщо – довільне комплексне число, то

( ). (11.23)

Доказ.

.

Зауваження. Якщо , то

.

Теорема 11.8.

( ). (11.24)

Доказ. Використовуючи формулу (11.20), одержимо |отримаємо|, далі , і т.д.

Теорема 11.9.

( ). (11.25)

Доказ.

.

Теорема 11.10. Якщо – довільне комплексне число, то

( ). (11.26)

Доказ.

Зауваження 11.1. Якщо , то

. (11.27)

Слідство|наслідок|: Використовуючи формули, що виражають|виказують,висловлюють| гіперболічні і тригонометричні функції через експоненціальну функцію

, ,

, ,

приходимо до наступних|слідуючих| рівнянь:

, (11.28)

, (11.29)

, (11.30)

, (11.31)

( ).

Зауваження 11.2. Якщо , то

, (11.32)

, (11.33)

, (11.34)

. (11.35)

Ці наближені формули схожі на точні формули безперервного операційного числення|обчислення|, але|та| тут замість оператора диференціювання використовується оператор віднімання, а замість одиничного|поодинокого| оператора – оператор . Формули (11.27) і (11.32) -(11.35) дозволяють використовувати дискретне операційне числення|обчислення| для чисельного вирішення завдань|задач| безперервного операційного числення|обчислення|.

6. Застосування|вживання| дискретного операційного числення|обчислення|

Перевагою дискретного операційного числення|обчислення| є|з'являється,являється| те, що його можна використовувати як чисельний метод, а не тільки|лише| як символьні перетворення. При цьому воно спирається|обпирається| на добре відпрацьовану технологію матричних перетворень і алгоритмів. Наприклад, можна використовувати таку популярну програму технічних обчислень|підрахунків|, як MATLAB.

Спектр можливих додатків|застосувань| достатньо|досить| широкий. Дискретне операційне числення|обчислення| можна використовувати для чисельного (або символьного) вирішення кінечно-різницевих рівнянь. Розглянемо|розгледимо| наступний|такий| приклад|зразок|. Вирішимо|розв'яжемо| різницеве (рекурентне) рівняння за нульових початкових умов

де

Для цього перейдемо до матричного представлення цього рівняння, використовуючи теорему 11.3:

,

де .

Звідси слідує|прямує|

Таким чином

.

Чисельний метод рішення тієї ж задачі за допомогою MATLAB приведений нижче.

>> A=Q*Q;

>> SUM=NULL;

>> for k=1:100

SUM=SUM+A^k;

end

>> E=I+SUM;

>> M=E*(I-Q)*inv(I+Q);

Крім того, дискретне операційне числення|обчислення| можна використовувати як чисельний метод рішення задач безперервної математики. Особливістю використання операційного методу для вирішення диференціальних рівнянь є|з'являється,являється| те, що одержати|отримати| зображення невідомої функції звичайно не дуже складно. Труднощі виникають на етапі отримання|здобуття| оригіналу цього зображення. У багатьох випадках оригінал визначається тільки|лише| чисельно. І тут може виявитися корисним дискретне операційне числення|обчислення|, в якому оператор диференціювання приблизно замінюється матричним оператором . Це можливо у випадках, коли функція, що є|з'являється,являється| рішенням задачі, трохи змінюється при збільшенні аргументу на одиницю. Можна підібрати|добрати| період дискретизації гратчастої функції так, щоб|так , щоб,таким образом | ця умова виконувалася. Для утворюючій функції , аргументом яких є|з'являється,являється| добич|добуток|: , де – змінна, а – параметр, ця умова еквівалентно вимозі малості|крихта,малість| модуля параметра в порівнянні з одиницею: . Використовуючи розкладання функції в околиці крапки|точки| в ряд|лаву,низку| Тейлора, одержимо|отримаємо|:

.

Як правило: . Таким чином, чим менше по модулю параметр, тим менше приріст функції . Хоча такий підхід не може забезпечити абсолютно точного рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| (як і будь-який інший чисельний метод), проте|однак| результат у багатьох випадках має прийнятну|допустиму| точність. Необхідно тільки|лише| при переході від безперервного зображення до матричного його уявлення|вистави,подання,представлення| замість одиничної|поодинокої| матриці використовувати матрицю .

Нижче даний приклад|зразок| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| диференціального рівняння за нульових початкових умов. Для порівняння приводиться|призводиться,наводиться| точне рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування|, одержане|отримане| аналітичним методом.

Y=inv(S*(25*S^2+0.5*S+Q));

OutM=Y*Ve;

plot(OutM), hold on

for k=1:100

Out(k)=1- exp(-0.01*k)*(cos(0.19975*k)

+0.05*sin(0.19975*k));

end

plot(Out), hold on

Мал. 11.2

Як можна бачити, для вирішення завдання|задачі| досить набрати невелике число команд. В результаті одержимо|отримаємо| графіки функції , відповідні матричному і точному рішенню|розв'язанню,вирішенню,розв'язуванню|. Вони показані на мал. 11.2. Як можна бачити, відхилення від точного рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| ледве помітні. В даному випадку використовувалася матриця розміром =100. За мірками MATLAB це не дуже велика матриця, і результат відображається|відображується| на екрані миттєво. Ідентифікатор Ve в програмі позначає|значить| вектор .

За допомогою дискретного операційного числення|обчислення| можна вирішувати|рішати| не тільки|не лише| звичайні диференціальні рівняння, але і рівняння в приватних похідних. В цьому випадку функція-зображення є|з'являється,являється| ірраціональною функцією і може містити|утримувати| члени вигляду|виду| або , де – неціле дійсне число. Для отримання|здобуття| матриць необхідно використовувати загальну|спільну| біноміальну теорему з|із| теорії аналітичних функцій.

. (11.36)

У приватному випадку маємо

(11.37)

Результат розкладання (11.37) легко перевірити множенням: . На мал. 11.3 показані графіки функції , зображенням якої є|з'являється,являється| функція (матричне рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| і точне). Ці графіки одержані|отримані| за допомогою наступної|такої| програми MATLAB.

for k=1:100

Out(k)=1/(sqrt(3.141592654*k));

end

>> a=1;

>> Qk=I;

>> Sum=NULL;

>> for k=1:100

Qk=Qk*Q;

a=a*abs(2*k-3)/(2*k);

Sum=Sum+a*Qk;

end

>> SRS=I-Sum;

Y=inv(SRS);

>> OutM=Y*Ve;

>> plot(OutM), hold on

>> plot(Out), hold on

Мал. 11.3

На початку цієї програми обчислюється|обчисляється,вичисляє| точне значення шуканої функції. Потім знаходиться|перебуває| матриця і зворотна їй матриця. Ідентифікатор SRS відповідає матриці , а ідентифікатор NULL – матриці з|із| нульовими елементами.