Завдання № 4

Розрахунок статично невизначеного валу на міцність при обертанні

4.1 Зміст завдання

Для статично невизначеного валу постійного поперечного перерізу навантаженого зовнішніми скручующими моментами потрібно:

- визначити обертальні моменти в нормальних перерізах і побудувати епюру розподілу обертальних моментів по довжині вала.

- з умови міцності і жорсткості визначити мінімальний діаметр вала в небезпечному перерізі. Матеріал вала конструкційна сталь, для якої .

- побудувати епюру розподілу дотичних напружень по перерізу вала.

- обчислити кути повороту поперечних перерізів на ділянках вала і побудувати епюру кутів закручування.

4.2 Методичні вказівки до виконання завдання №4

4.2.1 Приступаючи до виконання завдання, спочатку необхідно виписати вихідні розрахункові дані з таблиці № 7 і дотримуючись масштабу викреслити розрахункову схему згідно заданому варіанту.

4.2.2 Скласти рівняння рівноваги вала і визначити його ступінь статичної невизначеності.

4.2.3 Відкинути одну з закладень, і замінюючи її дію на вал невідомим реактивним моментом, скласти еквівалентну систему. Записати додаткове рівняння сумісності переміщень.

Вирішуючи спільно рівняння статики (рівноваги) і сумісності переміщень визначити невідомі реактивні моменти.

4.2.4 Розбити вал на ділянки. Межами ділянок є: кінцеві перерізи вала; перерізи, де діють зосереджені моменти; перерізи, де починається або закінчується розподілений момент.

Використовуючи метод перетинів і послідовно переходячи від однієї ділянки до іншої, визначити обертальні моменти на ділянках вала. Необхідно чітко зрозуміти, що крутить момент - це момент внутрішніх сил, що виникає при крученні в поперечних перерізах вала, який чисельно дорівнює алгебраїчній сумі діючих на вал моментів, розташованих по одну сторону від розглянутого перерізу.

При чистому крученні знак обертального моменту фізичного сенсу не має, але для визначеності домовимося про наступне правило знаків. Обертальний момент вважається додатнім, якщо для спостерігача, що дивиться на проведений переріз він спрямований за годинниковою стрілкою, і навпаки, обертальний момент вважається від'ємним, якщо він спрямований проти годинникової стрілки.

Для вилучення помилки в обчисленнях прийняти позитивний (або негативний) напрям обертального моменту на першій ділянці і зберігати його для інших ділянок.

Обчисливши обертальні моменти на ділянках вала необхідно побудувати епюру обертальних моментів і визначити положення небезпечного перерізу вала. Небезпечним перерізом є переріз, де діє максимальний (за абсолютним значенням) обертальний момент.

4.2.5 Поперечні розміри вала визначаються:

з умови міцності

з умови жорсткості

При цьому діаметр суцільного вала круглого поперечного перерізу визначається за формулами:

Діаметр вала кільцевого поперечного перерізу визначається за формулами:

У наведених формулах:

– найбільше значення обертального моменту, що визначається за епюрою

– допустиме дотичне напруження для матеріалу вала

– модуль пружності при

– допустимий відносний кут закручування.

, где – зовнішній і внутрішній діаметри кільцевого валу.

З двох розрахованих значень зовнішнього діаметра вала необхідно вибрати найбільшу і узгодити це значення з нормальним поруч лінійних розмірів за .

У таблиці № 6 представлена ​​частина цього ряду. Значення величин наведені в мм.

Таблиця № 6

4.2.6 Максимальне дотичне напруження в поперечному перерізі вала при обраному діаметрі визначається за формулою

де – поточне значення радіуса валу. Для зовнішнього діаметра

– полярний момент інерції поперечного перерізу, який визначається:

За отриманим значенням дотичного напруження будується епюра дотичних напружень діючих в поперечному перерізі вала.

При цьому слід пам'ятати, що при крученні вектор дотичного напруження в будь-якій точці поперечного перерізу вала завжди спрямований нормально до радіуса перерізу.

Загальний вид епюри дотичних напружень для суцільного і кільцевого валу представлені на малюнку

4.2.7 Деформація при крученні визначається кутом повороту поперечних перерізів валу. Обчислення кутів закручування здійснюється за формулою яка виражає закон Гука при крученні

де – кут повороту довільного перерізу взятого на -тій ділянці відносно кінцевого перерізу вала.

– кут повороту перерізу попередньої ділянки відносно кінцевого перерізу вала.

- жорсткість -тої ділянки вала.

Данні для виконання завдання № 4 взяти з таблиці № 7 згідно свого порядкового номеру.

Таблиця № 7
№	№ рисунку
	–	м	кн	кн	кн	–	Рад/м

Приклад виконання завдання №4

Суцільний вал постійного поперечного перерізу з жорстко закладеними кінцями навантажений зовнішніми скручующими моментами

Вал виготовлений з конструкційної сталі для якої

Необхідно:

1. Побудувати епюру обертальних моментів, що діють в поперечних перерізах вала.

2. З умови міцності і жорсткості визначити діаметр вала в небезпечному перерізі та побудувати епюру дотичних напружень.

3. Побудувати епюру кутів закручування.

Розв’язання:

Вал з жорстко закладеними кінцями є статично невизначеним, оскільки реактивні моменти виникають в закладках не можуть бути визначені тільки з рівняння статики

Дана система є статично один раз невизначеною.

Для складання рівняння сумісності переміщень відкинемо ліве закладення , а її дію на вал замінимо невідомим реактивним моментом .

Отриманий таким чином статично визначений вал еквівалентний заданому, а кут повороту перерізу в закладенні відносно перерізу в закладенні дорівнює нулю, оскільки це переріз жорстко зароблене.

Застосовуючи принцип незалежності дії сил, перепишемо рівняння сумісності переміщень у вигляді

де – кут повороту перерізу від дії моменту

– кут повороту перерізу від дії розподіленого моменту

– кут повороту перерізу від дії моменту

Знаки в виразах кутів повороту прийняті такими ж, як знаки відповідних моментів рівнянь рівноваги.

Підставляючи значення кутів повороту в рівняння сумісності переміщень, отримуємо:

Знак говорить про те, що справжній напрям дії реактивного моменту протилежний раніше прийнятого.

2. Використовуючи метод перерізів і розглядаючи по черзі всі ділянки валу, визначаємо обертальні моменти, що діють на цих ділянках.

Для перерізу 1-1 ділянки I маємо

Для перерізу 2-2 ділянки II маємо

Для перерізу 3-3 ділянки III маємо

За отриманими значеннями будуємо епюру обертальних моментів і визначаємо положення небезпечного перерізу вала. Для даного валу небезпечним є поперечний переріз, що збігається з площиною дії зовнішнього скручується моменту .

Обертальний момент в небезпечному перерізі дорівнює

3. Визначаємо діаметр суцільного вала:

Згідно найбільше значення діаметра вала остаточно приймаємо рівним

Полярний момент інерції площі поперечного перерізу вала обчислюється за формулою

Максимальне дотичне напруження, що діє в небезпечному перерізі вала дорівнює

Далі, будуємо епюру розподілу дотичних напружень по перерізу вала

4. Визначаємо кути повороту нормальних перерізів на ділянках. За початок відліку приймаємо крайній лівий переріз вала.

У закладенні кут закручування дорівнює нулю

На ділянці І

при

На ділянці ІІ

при

Так як епюра на ІІ ділянці переходить через нуль, то функція повинна мати екстремум

Прирівнюючи значення до нуля знаходимо значення при якому функція беремо екстремальне значення

На ділянці ІІI

Нульове значення кута свідчить про правильність визначення обертальних моментів і кутів повороту перерізів валу.

За знайденими значеннями кутів повороту поперечних перерізів будуємо епюру кутів закручування.