Понятия числа, фигуры и множества как примеры математических моделей

К построению математических моделей явлений, основанному на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количественных отношений и пространственных форм, человечество прибегало с первых шагов развития математики. Одним из первых достижений на этом пути было создание понятия натурального числа. Оно появилось, по-видимому, на довольно позднем этапе возникновения мышления, поскольку предполагает уже развитую способность к созданию абстрактных понятий. В процессе практической деятельности люди пришли к абстрагированию такого общего свойства конечных множеств, каким является их численность. Чтобы усмотреть, что между множеством, состоящим из шести рыб, и множеством, состоящим из шести звезд, есть что-то общее, нужна уже высокая степень умения абстрагироваться от второстепенного, умения выделять главное. Этнографы нашли племена, в языках которых существует много видов числительных — числительные для множеств живых существ отличаются от числительных для множеств плодов, орудий охоты и т. д. Хотя эти племена и подошли к понятию числа, оно не получило у них должной общности.

Процесс создания понятия числа был сложным и длительным. На первом этапе устанавливалась равночисленность различных множеств, а общее свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых множеств (например, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом). На втором этапе численность одних множеств выражается через численности других множества, е. общее свойство равночисленности начинает осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества.Однако в качестве эталонов выступают еще различные множества, состоящие из камешков, раковин, пальцев и т. д. На третьем этапе определенное множество (например, множество пальцев на руках и на ногах) начинает выступать в качестве своеобразного единственного эталона количества, что позволяет выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. На четвертом этапе общее свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется (отвлекается, отделяется) от самих множеств и выступает в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Теперь уже в качестве эталона численности выступают сами натуральные числа и говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (впрочем, в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони, сравните слово «запястье»). Далее происходит отвлечение от реально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах, о развертывающемся в бесконечность натуральном ряде чисел. Наконец, возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Объектом науки становятся свойства элементов этого множества, в отвлечении от тех предметов, пересчет которых привел к созданию понятия числа. Возникает система чисел с ее свойствами и закономерностями.

Создание такого понятия натурального числа, при котором этих чисел оказалось бесконечно много, носило поистине революционный характер. При этом, возникнув как инструмент в познании мира, понятие натурального числа стало предметом исследований, приведших к выявлению скрытых, но объективных свойств этого понятия (например, бесконечности множества простых чисел, бесконечности множества «пифагоровых троек чисел» и т. д.).

Понятие числа, возникшее как математическая модель операции пересчета предметов, само становится основой для построения новых математических моделей. Хотя свойства чисел раскрываются в отношениях одних чисел к другим, но не в отношениях этих чисел к реальному миру, каждое свойство натуральных чисел допускает конкретную реализацию в виде свойств совокупностей реальных объектов. Это связано с тем, что свойства и отношения в множестве натуральных чисел являются отвлеченными образами свойств и отношений множеств, состоящих из конкретных предметов.

На этом примере хорошо видны этапы конструирования математической модели реального явления: после долгого эмпирического знакомства с явлением возникает сначала его конкретная модель (пальцы рук и ног моделируют численности различных множеств), потом от этой модели переходят к мысленной модели — натуральным числам и, наконец, изучают эту модель и применяют ее для построения других моделей.

Похожий путь прошли в своем развитии и такие геометрические понятия, как «прямая линия», «плоскость», «шар», «цилиндр», «пирамида» и т: д. Сначала люди сталкивались с различными телами, имевшими форму, похожую на те или иные фигуры, и стали классифицировать тела по их форме. Говорили — имеет такую же форму, как натянутая нить или как еловая шишка («конос»), или как столик для еды («трапецион») и т. д. В дальнейшем при изготовлении предметов им старались придать ту или иную форму. Таким образом, сначала придавали форму тем или иным предметам, а лишь потом стали осознавать форму как то, что может быть рассмотрено в отвлечении от материала, из которого изготовлен предмет. Далее, возникли понятия геометрических фигур (конуса, пирамиды и т. д.), отвлеченные от реальных прообразов этих фигур. Они являлись математическими моделями, к изучению которых приводилось изучение реальных тел, мало отличающихся от этих фигур.

Дальнейшее развитие привело к расширению класса тел, используемых для построения таких моделей (параболоиды вращения, эллипсоиды и т. д.), а после создания аналитической геометрии математики получили возможность строить бесконечное множество самых разнообразных моделей тел, используя задание геометрических фигур уравнениями и неравенствами. В свою очередь, геометрические фигуры стали моделями уравнений и неравенств — читателю известно, насколько удобен, например, геометрический язык в линейной алгебре.

Следует иметь в виду, что одно и то же явление, одна и та же сторона материального мира может описываться различными моделями. Например, геометрическая структура материального мира может быть описана как геометрией Евклида, так и геометрией Лобачевского, причем на определенном уровне экспериментальной проверки обе модели дают результаты, одинаково хорошо согласующиеся с действительностью.

Одной из наиболее абстрактных моделей действительного мира, в которой отвлекаются от всех свойств предметов, кроме принадлежности их одному и тому же классу, является понятие множества.

Поразительным фактом, установленным в последние десятилетия, оказалось то, что у такого, казалось бы, наглядного понятия, как «множество», существуют различные математические модели. Это особенно важно потому, что теория множеств дает универсальную систему понятий, охватывающую все математические теории и широко используемую для построения математических моделей.