Вопрос 2.

Решение главной геодезической задачи на эллипсоиде зависит в основном от длины геодезической линии. Длина геодезической линии бывает : 1. Малой (до 45 км.) 2. Средней (до 600 км.) 3. Большой (до 5000 км.) 4. Сверхбольшой (до 20000 км.)

Решение главной геодезической задачи на малые и средние расстояния осуществляется способами Гаусса и Шрейбера. На больших расстояниях осуществляется способом Бесселя. Численным методом могут решаться длины на сверхбольшие расстояния. При этом все задачи, для всех расстояний, Могут решаться методом (путем): прямым и косвенным.

Вопрос 3.

Все геодезические задачи решаются вне зависимости от длины геодезической линии с высокой точностью. Широты и долготы должны вычисляться с точностью 0″,0001, азимуты с точностью 0″,001. Соответственно длина S должна быть задана с точностью до 1 мм.

Вопрос 4.

Можно записать, что

В2 =В1+∆В=В1+(В2-В1)

L2=L1+(L2-L1)=L1+l

A2,1=A1,2±180°+α

Нашей задачей является определение величин В, L, α

Можно отметить, что увеличение широты, долготы и азимута осуществляется с длинной геодезической линии. Если узнать значение приращения одной из координат в зависимости от длинны геодезической линии

или произведение

,

то в соответствии с разложением в ряд Тейлора можно записать:

Если i=1, то

если i=2, то

если i=3, то

- производная широты i-того порядка

Аналогично запишем для долгот и азимутов

Исходя из этого чертежа установим зависимость между дифференциалами:

dB=dS·cosA dL=dS·sinA

Установим зависимость между dA и dS. Очевидно, что dB можно вычислить дважды:

DB=D=dSsinA

Второй раз через dA задаваясь длинной 1-го вертикала.

DB=NdA

Мы знаем, что N можно выразить через радиус параллели.

Такая запись в дальнейших преобразований не удобна.

DB = TD·DA

Очевидно, что можно записать:

;

Тогда:

;

Для определения выразим dB через приращение широты и радиус меридиана:

ED=dS*cosA; DB=dL=dS*sinA

Поскольку dL – есть приращение долготы, то его удобно вычислить через радиус параллели т.е.

DB=r*dL

Тогда: dS * sin A=r*dL;

Сведём эти производные вместе:

Для того, чтобы можно было дифференцировать значение r. N – выразим через широту. Поскольку: ; ; v= ; .

Тогда: ; ; .

Все производные зависят от 2-х аргументов B,A. Последующие производные необходимо брать по 2-м аргументам В и А, покажем это на примере :

;

На основе этого примера, можно составить рекуррентные формулы взятия производных, а именно:

Остальные значения ; определяются так же, только вместо берётся и .

Полученные производные подставляются в суммы для вычисления b, l , α и этим решается прямая геодезическая задача.

Вопрос 5.

Решение обратной геодезической задачи неразрывно связано с решением прямой геодезической задачи со средними аргументами. Такое решение называют решением способов Гаусса.

Пусть известна точка с координатами D(B₁,L₁,A₁), длина геодезической линии S. Необходимо определить координаты точки Q(B₁,L₁,A₁).

По Гауссу выбирается строго середина геодезической линии DQ – М и условно вводиться координаты этой точки B_M, L_M и прямой азимут точки А_М.

Записывается выражение для разностей широт B₁-B_M, B₂-B_M. Аналогично предыдущему случаю записывать *

Поскольку значения B₁<B₂, то перед первой производной становиться (-).

Из этих выражений найдем величину B₂.

B₂=B₁+(B₂-B₁)

Особенностью данной формулы является то, что производные берутся в точке М. Для вычисления производных берутся широта, долгота и азимут геодезической линии в точке М. В реальности мы не можем это сделать, потому что координаты точки М известны.

Гауссом предложено вместо координат точки М брать среднее с координат точек D и Q.

, ,

Но в этих формулах B, L2, A2 тоже неизвестны, тогда задачу решают методом приближений.

В нулевом приближении задаются грубыми координаты точки Q (B2,L2,A21)

Приближения повторяются до тех пор, пока результаты предыдущего и последнего приближения не станут между собой одинаковыми.

Замечание:

В выражении производные даны в точке М, а выражение этих произведений нам нужны в точке B с координатами B, L, A. Эти точки назовем М!.

Расстояние между точками М и М' в координатах будет B-B_M, L-L_M, A-A_M.

Поэтому функцию разложим в ряд Тейлора по величинам B-Bm, L-Lm1, A-Am.

Поскольку мы рассматриваем производные широты по расстоянию, то она будет зависеть от самой широты и азимута геодезической линии, тогда разложенный в ряд Тейлора будет иметь вид:

Тогда можно записать, что

Но для вычисления самого , исходя из записанных разностей широт относится точка M.

Чтобы найти Bm-B необходимо вычислить следующее выражение:

Тогда окончательно для B2-B1 можно записать

Аналогичные приближения по L и A.