Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения гоу спо мцбт

1 Тема: Приближенные вычисления.

Пример 1. Вычислить приближенное значение выражения и найти границу погрешности результата.

Решение. Находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50; 5,62² = 31,58; Теперь получаем

,

где сначала выполнено деление, а затем умножение.

Найдем границу относительной погрешности результата:

.

Граница погрешности результата есть . Итак, .

Пример 2. Вычислить приближенное значение выражения и найти границу погрешности результата.

Решение. Находим значение квадратного корня из числа 6,24 и . Далее, получим

,

где сначала выполнено деление, а затем умножение.

Найдем границу относительной погрешности результата:

.

Граница погрешности результата есть . Итак, .

2 Тема: Комплексные числа.

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и .

Решение. Сумму находим формальным сложением двучленов и :

Произведение находим формальным перемножением двучленов 5 – 2i и 3 + 4i с последующей заменой i² = –1:

.

Пример 2. Даны комплексные числа и . Найти разность и частное .

Решение. Разность находим формальным вычитанием двучленов и :

.

Чтобы найти частное , умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю :

Пример 3. Найти комплексное число .

Решение. Выполнив в числителе дроби возведение в степень, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на , получим

Пример 4. Найти аргументы комплексного числа .

Решение. Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в IV координатной четверти, поэтому аргументами числа являются каждый из углов , .

у

0 х

-1

Аргументы действительных и число мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило, вообще, нельзя применять).

Пример 5. Записать число в тригонометрической форме.

Решение. Находим модуль Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в III координатной четверти (рис.), поэтому одним из аргументов является .

у -1 0 х -1

Следовательно, .

Для того чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической достаточно найти действительные числа а и b по формулам , .

Пример 6. Записать число в алгебраической форме.

Решение. Сначала найдем cos 315^о и sin 315^о:

; .

Тогда Следовательно,

Пример 7. Даны комплексные числа z₁ = 4(cos120^о + i sin120^о) и z₂ = . Найти их произведение и частное z₁/z₂. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Применяя правила умножения и деления комплексных чисел, имеем

Пример 8. Вычислить (cos 20^o + i sin 20^o)¹⁵.

Решение. (cos 20^o + i sin 20^o)¹⁵ =

Пример 9. Вычислить

Решение. Запишем число в тригонометрической форме. Находим

=

, так как φ Є (3π/2, 2 π).

Тогда и, значит,

Пример 10. Вычислить

Решение. Запишем число в тригонометрической форме. Имеем

или так как

Тогда и, следовательно,

При k = 0, 1, 2, 3 получим

Пример 11. Представить число в алгебраической форме.

Решение. По условию r = 2, φ = 3π/2, откуда α = r cos φ = 0,

b = r sin φ = -2, и, значит, = -2i.

Пример 12. Записать число z = -2 + 2i в показательной форме.

Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа –2 + 2i : r = α = arctg ‌ 2/(-2) ‌ = arctg 1 = π/4; φ = π – π/4 = 3π/4, так как Значит, .

Пример 13. Представить комплексное число в показательной форме.

Решение. Запишем в показательной форме основание степени:

, так как .

Тогда .