5 Тема. Уравнение линии на плоскости.
Пример 1. Даны вершины треугольника А(-2; 7), В(2; -1), С(-8; 3). Составить уравнение: высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС; медианы, проведенной из вершины В (рис.). Сделать чертеж.
Решение. Воспользуемся схемой составления уравнения прямой. Сначала составим уравнение высоты АК:
В
К
М N
A D C
1)
2)
3)
4)
или –10(х+2)+4(у-7)=0.
-
уравнение высоты АК.
Чтобы
составить уравнение медианы BD,
надо найти координаты точки D,
которая является серединой отрезка АС.
Значит,
т.е.
и
Итак, D(-5; 5).
Теперь составим уравнение медианы BD:
1)
2)
3)
4)
- уравнение медианы BD.
С
делаем
чертеж в системе координат (рис.)
у
х
Пример 2. Прямая проходит через точки К(6; -2) и Р(-3; 4). Найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат (рис.). Сделать чертеж.
l
К Р М
Решение. Сначала составим уравнение прямой l:
1)
;
2)
3)
4)
- уравнение прямой l.
Теперь найдем координаты точек пересечения прямой l с осями координат:
Прямая l пересекать ось Ох в точке А(3; 0) и ось Оу в точке В(0; 2). Сделаем чертеж в системе координат (рис.).
у
0 х
Пример 3. Найти проекцию точки Р(-6; 4) на прямую 4х – 5у + 3 = 0 (рис.). Сделать чертеж.
Р
М l
nl К
l1
Решение. Сначала составим уравнение прямой l1:
1)
;
2)
3)
4)
уравнение прямой l1.
Теперь найдем точку пересечения прямых l и l1 , для чего решим систему уравнений.
Итак, К(-2; -1) – проекция точки Р(-6; 4) на прямую 4х - 5у + 3 = 0.
Сделаем чертеж в системе координат (рис.). Прямую 4х - 5у + 3 = 0 построим по точкам ее пересечения с осями координат:
у
х
Пример 4. Вычислить угол между прямыми 6х –2у – 9 = 0 и 4х + 2у – 7 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Угол φ между данными прямыми найдем по формуле
где
Сначала найдем скалярное произведение нормальных векторов, их длины и произведение для нормальных векторов.
Тогда
Итак, угол между дан-ными прямыми равен
45о.
Сделаем чертеж в системе координат (рис.) Данные прямые построим по точкам их пересечения с осями координат.
6 Тема. Производная и ее приложения.
Пример
1. Найти
производную функции
.
Решение.
Дифференцируем функцию по формулам
Пример
2. Найти производную функции
и вычислить ее значение при
Решение.
Это сложная функция с промежуточным
аргументом
Дифференцируем ее по
формулам
Вычислим
значение производной при
Пример
3. Найти производную функции
Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
Дифференцируя, получим
Пример
4. Составить уравнение касательной,
проведенной к графику функции
в точке с абсциссой х = 2.
Решение. Сначала найдем ординату точки касания А(2; у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.
Уравнение
касательной, проведенной к кривой в
точке
имеет вид у - 2
= k(х – 2).
Для нахождения углового коэффициента
касательной найдем производную:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:
Уравнение касательной таково:
или
т.е.
Пример
5. Закон движения точки по прямой
задан формулой
В какие моменты времени t
скорость движения точки равна нулю?
Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производной пути s по времени t:
υ
υ
откуда t
= 1.
Пример 6. Найти вторую производную функции f(x) = tg x.
Решение.
Сначала по формуле
найдем первую производную:
.
Дифференцируя еще раз
по формулам
найдем вторую производную:
Пример
7. Точка движется по прямой по закону
(s – в метрах, t
– в секундах). Найти ускорение движения
точки в конце второй секунды.
Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t:
Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t:
Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с2.
Пример 8. Число 36 представить в виде произведения двух таких положительных множителей, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Решение. Пусть один из множителей равен х, тогда второй множитель равен 36/х. Сумма квадратов этих множителей есть
где х > 0.
Сначала найдем производную этой функции:
теперь найдем критические точки I рода:
Ясно, что х = - 6 не удовлетворяет условию, так как х > 0.
Отметим
границы области определения и критические
точки I рода на числовой
прямой (рис.). Исследуем знак производной
в окрестности точки
<
0,
> 0. Так
как при переходе через критическую
точку I рода х = 6
производная функция S
меняет знак с минуса на плюс, то х =
6 – точка
минимума.
Х
-6 - 6 +
Итак, число 36 надо разложить на два равных множителя: 6 и 6.
Пример 9. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезают открытую прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был небольшим?
Решение. Пусть сторона вырезаемых квадратов равна х см, тогда длина коробки равна (48 – 2х) см, ширина (30 – 2х) см, а высота х см.
Объем коробки равен объему прямоугольного параллелепипеда, т.е. произведению трех его измерений:
Исследуем
функцию V на экстремум.
Для этого сначала найдем производную
а затем найдем критические точки I
рода:
х = 20 не удовлетворяет условию.
Отметим эти то1чки на числовой прямой (рис.)
+ 6 - 20 х
Исследуем
знак производной в окрестности точки
х = 6:
> 0,
< 0, т.е. х = 6 –
точка максимума. Итак, объем коробки
является наибольшим, если сторона
вырезаемых квадратов равна 6 см.
Пример 10. Построить график функции у = х3 – 3х.
Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. х = R.
2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:
+ 1 - 1 + х
3.
Находим экстремумы функции. Для этого
сначала найдем производную
Затем найдем критические точки I
рода:
Отметим эти точки на числовой прямой
(рис.). Исследуем знак производной в
каждом интервале;
>
0,
<
0,
>
0. Функция
возрастает при
и убывает при
Итак, х = -1
– точка минимума;
- точка минимума;
4.
Находим направление вогнутости и точки
перегиба графика функции. Для этого
сначала найдем вторую производную
а затем критические точки II
рода:
отметим эту точку на числовой прямой
(рис.). Исследуем знак второй производной
в каждом интервале:
<
0,
>
0.
Таким образом,
график является выпуклым при
и вогнутым при
;
х = 0 –
абсцисса точки перегиба,
О(0,0) –
точка перегиба графика функции.
- 0 + х
О
тметим
все полученные точки в системе координат
и соединим их плавно кривой (рис.).
у
2
-1 0 1
х
-2
Для уточнения графика функции можно найти дополнительные точки, используя уравнение функции: у(-2) = -2, у(2) = 2.