3. Теорема Коши

Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Вычислим производную :

.

Из условия следует, что

и ,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

6 3.Экстремумы ф-и. необходимые и достаточные условия существования экстремумов ф-и. Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:

Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу :

        Доказательство.     Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны :

и

Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что ,

где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при :

так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку . Получим

где . Переходя к пределу при , получаем

так как при имеем .

И так, оба односторонних предела отношения равны . На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

    

        Замечание 5.5   При доказательстве мы одновременно вывели правило Лопиталя и для односторонних пределов (то есть пределов при базах и ): если и бесконечно малы при и существует предел

то существует и предел

аналогичное утверждение верно также для предела справа.     

64.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика.

Определение 8. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются : треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.

Определение 9. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на множестве X, если для всех x₁,x₂О X выполняется неравенство

f(l₁ x1+l₂x2)Ј l₁f(x1)+ l₂f(x2) (f(l₁ x1+l₂x2)і l₁f(x1)+ l₂f(x2)),

где l₁і 0,l₂і 0, l₁+l₂ = 1.

Г рафики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.

Справедлива

Теорема 9. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (рис.26). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема 10 (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

Доказательство. Если f''(x)>0, xО X, то f'(x) возрастает на множестве X и по предыдущей теореме функция выпукла вниз на множестве X. Аналогично рассматривается случай, когда f''(x)<0.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз (вверх) на множестве X, то f''(x)і 0, xО X (или f''(x)Ј 0 ) xО X. Например, функция y = x⁴ выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x² обращается в ноль при x = 0.

Определение 10 (точка перегиба). Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Отсюда следуют утверждения.

Теорема 11 (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю, т.е. f''(x0) = 0.

Теорема 12 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x0, в которой f''(x0) = 0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба ее графика.

Заметим, что если в окрестности точки x₁ функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x₂ функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x₀ касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 13. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x⁴+x³-18x²+24x -12.

Решение. Находим производные

y' = 4x3+3x2-36x+24, y'' = 12x2+6x-36.

Отсюда y'' = 0 при x₁ = -2, x₂ = 3/2. Следовательно, y''>0 на интервалах (-Ґ,-2), (3/2,Ґ) и функция выпукла вниз; y''<0 на интервале (-2,3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки x₁ = -2 и x₂ = 3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2,-124) и (3/2,-129/16) являются точками перегиба.