9.3 Дослідження перехідних процесів методом інтегруємої нелінійної апроксимації

Дослідження перехідного процесу можна здійснити шляхом апроксимації характеристик нелінійних елементів кола такими функціями, які: а) достатньо точно відображають характеристики нелінійних елементів на передбачуваному інтервалі переміщення його робочої точки; б) дають можливість проінтегрувати диференціальне рівняння у відомих функціях.

Метод застосовується в основному до кіл постійного струму, які описують диференціальні рівняння 1-го порядку. При певних допущеннях він може бути застосований і до розрахунку кіл змінного струму теж 1-го порядку.

9.4 Метод кусково-лінійної апроксимації

Апроксимація характеристики нелінійного елементу кола відрізками прямих ліній дає можливість перейти від нелінійного диференціального рівняння до декількох лінійних рівнянь, відмінних лише коефіцієнтами. Кожне з лінійних рівнянь справедливе для того інтервалу часу, в перебігу якого робоча точка переміщується по даній лінеаризованій ділянці. Рішення, одержані для кожної з лінійних ділянок, припасовуются одне до одного відповідним вибором постійних інтегрування. Основна трудність розрахунку цим методом полягає у визначенні постійних інтегрування і часу роботи на кожній з лінійних ділянок. Для розвязання складних рівнянь раціональне залучення ЕОМ.

9.5 Графічні методи

У тих випадках, коли не вимагається висока точність, для вирішення диференціального рівняння невисокого порядку можна скористатися графічними методами. Більшість графічних методів аналізу перехідних процесів у принципі подібні чисельним. Відмінність полягає у тому, що для скорочення обчислень використовуються деякі графічні побудови. Точність розвязання залежить від способу побудови і підвищується із збільшенням масштабу графіка. Звичайно графічний метод простий в застосуванні і може виявитися вельми корисним як перша спроба дослідження перехідного процесу в нелінійному колі. Крім того, графічний метод може надати в короткий час значну і якісну інформацію про перехідний процес, після чого додаткову точнішу інформацію можна отримати іншими методами.

9.6 Зображення перехідних процесів на фазовій площині

Перехідні процеси можна розглядати в різних системах координат, наприклад: (i, t), (u, t), (q, t) та інш. Якісне дослідження різних процесів в колах, що описуються диференціальними рівняннями 1-го і 2-го порядків, часто виконують за допомогою фазової площини.

Фазовою площиною називається площина, по осі абсцис якої відкладається досліджувана величина x(t), а по осі ординат – похідна від досліджуваної величини (далі будемо позначати похідну як у(t)).

У кожній конкретній задачі під x розуміють струм i, напругу и, заряд q або інш. Будь-якому поєднанню значень x і у досліджуваного кола відповідає певна точка фазової площини. Перехідний процес у вказаній системі координат, як сукупність точок з координатами ( х_i, у_i) зображається кривою, яка для реального фізичного кола обмежена у напрямку обох координатних вісей, оскільки досліджувана величина x і її похідна обмежені у будь-який момент часу.

Вказаний спосіб зображення перехідних процесів (і сталих процесів) на фазовій площині іноді значно полегшує інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь, зводячи їх розв’язання до геометричної побудови. Зображення на фазовій площині дає якісне уявлення про характер перехідного процесу без розвязання рівняння в кінцевому вигляді. Як правило, якісне дослідження передбачає виявлення наступних загальних властивостей досліджуваного кола:

а) з'ясування залежності характеру перехідного процесу від початкових умов (п. у.);

б) визначення можливості виникнення в колі автоколивань, резонансних явищ, автомодуляції;

в) дослідження стійкості вказаних вище режимів і стану (режиму) рівноваги кола.

Для якісного дослідження перехідного процесу в колах, що описуються рівнянням 3-го порядку, застосовують фазовий простір (простір з трьома вимірами). По вісях декартової системи координат цього простору відкладають х, dx/dt, d²x/dt² .

Кожному стану досліджуваного кола відповідає певне поєднання значень x і у=dy/dt, тобто певна точка на фазовій площині. Ця точка носить назву зображаючої (або представляючої). Всяка зміна стану кола зображається на фазовій площині у вигляді деякої кривої, що називається інтегральною. Залежності, які одержують з розвязання диференціального рівняння кола, визначають на фазовій площині ціле сімейство інтегральних кривих. Кожна з цих кривих відповідає певному значенню постійної інтегрування, що відповідає певному значенню п.у. Сукупність кривих, що відповідають різним п.у., називають фазовим портретом кола.

Початкове положення зображаючої точки на фазовій площині задається значеннями x(t=0) і у(t=0), тобто п.у. Інтегральна крива, що проходить через точку фазової площини, яка відповідає заданими п.у., називається фазовою траєкторією. Вид фазової траєкторії залежить від конфігурації схеми кола, від характеру нелінійності, від співвідношення між параметрами кола.

У верхній напівплощині фазової площини, де зображаюча точка може зміщуватися тільки у напрямі зростаючих значень х (тобто направо). Для нижньої напівплощини і зображаюча точка може переміщатися тільки вліво. Таким чином, рух зображаючої точки на фазовій траєкторії може відбуватися тільки по напряму годинникової стрілки.

Якщо перехідний процес описується диференціальним рівнянням 1-го порядку, то всі фазові траєкторії лежать на одній кривій і зображаюча точка може переміщатися тільки по цій кривій. Якщо перехідний процес описується рівнянням 2-го порядку, то залежно від п.у. зображаюча точка може опинитися в будь-якому місці фазової площини.

Якщо процес в колі є періодичним, то через інтервали часу, що дорівнюють періоду процесу, відповідні один одному значення х і у повторюються, а фазова траєкторія в цьому випадку буде замкнутою кривою. Замкнута фазова траєкторія називається граничним циклом. Якщо ж процес є неперіодичним, то фазова траєкторія є незамкнутою кривою. Фазову траєкторію можна спостерігати на екрані електронно-проміневого осцилографа.

9.7 Зображення перехідних процесів в простіших лінійних колах на

фазовій площині

Наведемо приклади якісного дослідження перехідних процесів в колах першого і другого порядків із застосуванням фазової площини.

Приклад 9.1. Коло, що містить активний опір r і індуктивність L з початковим струмом i₀, перемикається без розриву струму на джерело постійної напруги U (рис. 9.2). Навести зображення перехідного процесу в колі на фазовій площині.

Рисунок 9.2 – Схема досліджуваного кола першого порядку

Перехідний процес в цьому колі описує наступне диференціальне рівняння першого порядку

В початковому рівнянні вводимо наступні позначення: i(t)=x(t), відповідно Робимо відповідні заміни в початковому рівнянні і отримуємо наступне:

Це рівняння прямої лінії, що проходить через дві точки фазової площини (див. рис. 9.3): т. А (х=U/r; y=0) – точка перетину з віссю 0Х ; т. В (х=0; у=U/L) – точка перетину з віссю 0Y.

Рисунок 9.3 – Зображення перехідного процесу на ФП

в досліджуваному колі першого порядку

У верхній напівплощині, де , зображаюча точка переміщується у напрямі зростаючих значень х. У нижній напівплощині і зображаюча точка переміщується у напрямі убування значень х. Точка рівноваги „А” лежить на вісі ОХ і відповідає сталому режиму.

Залежно від початкового значення струму (при t=0) фазова траєкторія може початися в різних точках прямої - у верхній або нижній напівплощині. З часом (незалежно від п.у.) рух зображаючої точки відбувається у напрямі т.А (стійкий вузол). Причому, швидкість руху зменшується у міру наближення до т.А. Якщо вказане коло з r і L замикається накоротко (U=0), то фазова траєкторія проходить через початок системи координат.

Приклад 9.2. Побудувати фазові траєкторії динамічних процесів в електричному колі другого порядку (коливальний контур підключається до джерела напруги з е.р.с. U) - рис. 9.4.

Рисунок 9.4 – Cхема електричного кола другого порядку

Фазові траєкторії перехідного процесу в колі другого порядку, схема якого наведена на рис. 9.4, складніші, ніж для кола першого порядку.

а) Розглянемо випадок, коли r = 0 (витрати в контурі відсутні), а і сполучені послідовно. Початкові значення струму в індуктивності і₀ і напруги на конденсаторі и₀ можуть бути будь-які. Диференціальне рівняння перехідного процесу в колі в цьому випадку має вид:

Дійсно, відповідно до 2-го закону Кирхгофа можна записати, що

Відомо також, що , а . Отже

Після диференціювання обох частин останнього рівняння, одержуємо:

Введемо позначення: , а Відповідно:

Якщо також позначити , то можна записати, що

Після інтегрування обох частин останнього рівняння одержуємо:

де постійна інтегрування, що залежить від початкових умов.

Останнє рівняння можна записати у наступному вигляді:

або

Це рівняння на фазовій площині зображається сімейством еліпсів (рис. 9.5 а ), вертикальні вісі яких дорівнюють 2k, а горизонтальні - 2k/ω₀ . Фазові траєкторії у вигляді еліпсів відповідають незгасаючим гармонійним коливанням в контурі. Амплітуда коливань струму дорівнює горизонтальній напіввісі еліпса:

а частота ω₀ – відношеню вертикальної вісі до горизонтальної.

б) У реальному коливальному контурі завжди є деякі витрати, тому опором r нехтувати не можна. За період коливань амплітуда струму в контурі зменшується і фазові траєкторії мають вид спіралей, що завиваються навколо початку координат – рис. 9.5б.

в) У міру збільшення втрат в контурі росте опір r і крок спіралі збільшується; при сімейство спіралей вироджується в сімейство параболічних кривих, що проходять через початок координат – рис. 9.5в.

Можна відзначити деякі загальні властивості наведених кривих, зіставляючи фазові траєкторії для трьох різних значень опору r:

- всі фазові траєкторії перетинають вісь ОХ під прямим кутом із зміною знаку похідної

- у всіх трьох випадках має місце тільки одна точка стійкої рівноваги, що лежить на початку координат, але характер рівноваги різний;

- при r=0 рівновага найменш стійка і достатньо нескінченно малого примушеного відхилення від точки рівноваги, щоб в колі почався незгасаючий коливальний процес з нескінченно малою амплітудою коливання; зображаюча точка при цьому виконує періодичні рухи по еліпсних орбітах з центром в точці рівноваги; точка рівноваги такого типу називається центром;

Рисунок 9.5 - Фазові траєкторії динамічних процесів в електричному

колі другого порядку (а - r = 0; б - r< ; в - r≥ )

- при всі процеси, що виникають в колі, мають затухаючий коливальний характер; зображаюча точка після будь-якого примушеного відхилення від стану рівноваги завжди повертається в початкове положення рівноваги, скоюючи при цьому декілька обертів навколо точки рівноваги; така точка рівноваги називається стійким фокусом;

- якщо зображаюча точка, повертаючись аперіодично в стан рівноваги, рухається по параболічній траєкторії і скоює не більше півоберту навколо початку координат; точка рівноваги такого типу називається стійким вузлом.