I. Метод окаймляющих миноров.

Пусть в матрице А найден минор М k-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1)-го порядка, и вся процедура повторится.

З а м е ч а н и е . Нахождение ранга матриц методом окаймляющих миноров требует вычисления определителей. Поэтому этим методом удобней пользоваться для вычисления ранга матриц небольшого размера. Для вычисления ранга матрицы, у которой число строк и столбцов больше трёх, рациональней использовать метод элементарных преобразований.

8.

 Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля

rang A = K, если , M_k+1= 0 , M_k+2= 0,....

Приведём основные методы вычисления ранга матрицы.

Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.

З а м е ч а н и е . 1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы; 2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля.

А~

rangA = rangB= k

9.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными            

Правило Крамера

    Введем для системы линейных уравнений следующие матрицы:           Тогда система имеет единственное решение      ,      где определитель Δ_k  (k=1,2,…n) получен из определителя Δ путем замены k-го столбца столбцом свободных членов системы .

10.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными     

Предположим, что среди коэффициентов при неизвестном х₁ имеются коэффициенты, отличные от нуля. Пусть одним из таких коэффициентов является а₁₁. Разделим первое уравнение системы на а₁₁, получим:                                               (2)      Это уравнение умножим на (–а₂₁) и сложим его со вторым уравнением системы (1), затем уравнение (2) умножим на (-а₃₁) и сложим его с третьим уравнением и т.д. С помощью таких операций исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Оставляем неизменным первое уравнение системы (1), а к оставшимся применяем тот же прием, т.е. в n-2 уравнениях исключаем неизвестное х₂ и т.д.      Систему уравнений приведем к треугольному виду:                                               (3) Пусть . Из последнего уравнения системы (3) найдем х_n. Подставляя затем это значение в предыдущее уравнение, найдем х _{n -1} и т.д. Продолжая эту процедуру, дойдем до первого уравнения, из которого путем подстановки уже найденных значений х₂, х₃, …, х _n получим неизвестное х₁.

11.

Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Декартова плоскость

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Когда говорят про двухмерную систему коодинат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осью ординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки.

Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.

Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.

Левые координатные системы	Правые координатные системы

Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox - на наблюдателя; на оси Oy - вправо; на оси Oz - вверх. Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.

Запись P(a,b,c) означает, что точка Q имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.

Рис. 4: Полярные системы координат

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно: ρ=sqrt(x²)+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

12.

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец: В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка .

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .