Вычисление площадей плоских фигур с помощью ои.
Рассмотрим криволинейную
трапецию, т.е. фигуру, образованную
осью 
,
прямыми 
, 
и
кривой 
.
Требуется найти площадь данной криволинейной трапеции. Покажем, что эта задача эквивалентна нахождению определенного интеграла.
Разобъем
отрезок 
на 
частей
точками
Получаем,
что отрезок
есть
объединение полуинтервалов открытых
слева
, 
и
отрезка 
,
т.е.
(эти
полуинтервалы 
и
отрезок 
будем
называть множествами).
Возьмем из
каждого множества 
произвольную
точку 
и
составим следующую сумму:
где 
--
длина (мера) множества
(полуинтервала).
Величина 
--
это сумма площадей прямоугольников со
сторонами 
и 
,
.
При стремлении к нулю 
сумма
будет
стремиться к значениюопределенного
интеграла
Получаем, что площадь криволинейной трапеции есть
Рассмотрим случай задания кривой параметрическим образом, т.е.
где параметр 
.
Тогда площадь вычисляется через
определенный интеграл:
Аналогично
можно рассмотреть случай, когда
криволинейная трапеция прилежит к
оси 
,
т.е. криволинейная трапеция ограничена
линиями 
, 
,
осью
и
кривой 
.
В этом случае площадь вычисляется через
интеграл:
5.Вычисление длину дуги плоской кривой с помощью ои
Пусть известна
функция
и
требуется найти длину дуги, заданной
функцией
,
где 
.
Для определения длины
дуги 
необходимо
вычислить определенный интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:
Рассмотрим случай,
когда кривая задается в полярных
координатах 
где 
.
Тогда для определения длины
дуги
вычисляется
следующий определенный интеграл:
6.Вычисления объемов тел с помощью ои
Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .
Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .
Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:
Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:
7.Интегралы с бесконечными перделами интегрирования.
До сих пор предполагалось, что, во-первых, областью интегрирования для определенного интеграла служит конечный отрезок , а во-вторых, что подынтегральная функция интегрируема на этом отрезке. Отбрасывая эти предположения, приходим к понятиюнесобственных интегралов двух типов: по бесконечному промежутку и от неограниченной функции. Как противопоставление несобственным интегралам, обычные определённые интегралы, которые вычисляются от интегрируемых (ограниченных) функций и по конечным отрезкам, часто называют собственными интегралами.
Первого рода
Определение.
Предположим, что функция 
задана
на бесконечном промежутке вида
и
интегрируема на любом конечном отрезке
,
где 
.
Таким образом, можно рассмотреть функцию,
зависящую от верхнего предела, как от
переменной:
Если эта функция имеет
предел при 
,
то число 
называется значением
несобственного интеграла первого рода:
а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.
Пусть на
полуинтервале 
задана
функция
,
интегрируемая на любом отрезке,
принадлежащем данному интервалу, однако
не интегрируемая на отрезке
.
В точке 
эта
функция может быть вовсе не определена
и стремиться к 
,
либо вовсе не иметь никакого предела.
Рассмотрим функцию
она определена при 
.
Эта функция может иметь предел
при 
(левосторонний
предел). Этот предел будем называть
значением интеграла от
по
всему полуинтервалу,
и
обозначать в точности:
Второго рода
Определение. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл
значение которого равняется левостороннему пределу
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.