8.Интегралы от разрывных функций

Под несобственным интегралом от функции , предполагающей наличие разрыва второго рода при , понимается Несобственный интеграл от функции , являющейся непрерывной и содержащей разрыв второго рода при , определяется как

При условии, что существуют пределы и они являются конечными, интегралы можно назвать сходящимися, иначе — расходящимися.

 

Несобственный интеграл от функции , которая непрерывна на и предполагает наличие разрыва второго рода при - это

Сходимость интеграла существует при условии, что сходятся два интеграла справа, и отсутствует — если хотя бы один из них расходится.

10.Функция двух переменных

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Пусть функция Z=f(M) определена на некотором множестве {M} и точка M₀ {M} или M₀ {M}, но обладает тем свойством, что в любой δ-окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {M}, отличная от M₀.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число А называется пределом функции Z=f(M) в точке M₀, если функция Z=f(M) определена в окрестности точки M₀ и для любого ε>0, δ>0 такое что при |M₀M|<δ, выполняется неравенство |f(M)-A|<ε.

обозначение: 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция Z=f(M) называется непрерывной в точке M₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.

11.Свойства функций, непрерывных в ограниченных замкнутых областях

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной — см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области.

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Т очка N_o называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается D. Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной — (d-окрестность точки М0(х₀;у₀).

Теорема 43.1. Если функция z = f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R > О, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство |f(N)| < R; б) имеет точки, в которых принимает наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и М.

Теорема дается без доказательства.