6. Геометрические вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Геометр определение вероятности:

Пусть результаты случ эксперемента определяются случайным положением точки в некоторой области G , причем все эти положения равновероятны ,тогда множество точек обл G можно ассоциировать пэи ,а множество случ событий представляет подобласть g в G.

7. Аксиоматическое определение вероятности случайных событий.

Вероятностное пространство.

На Ω существует система событий (подмножеств) удовлетворяющих следующие свойства:

1. (это пустое множество) , Ω принадлеж (эта штука назыв алгебра событий) А принадлеж Ω, А принадлеж

2. Если А и В принадлеж ,то А+ В ,АВ, А(над А черточка вверху), В(тоже черточка) принадлеж

Вероятность- числовая функция Р (∙),определенная на назыв вероятностью если выполнены следующие аксиомы:

1. Аксиома неотрицательности:

Для любого А принадлеж Р(А)≥0

2.Аксиома нормированности:

Р(Ω)=1.

3.Аксиома аддитивности:

Для любого А,В принадлеж и А,В = то вероятность суммы этих событий равна = сумме вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

4.Аксиома счетной аддитивности:

Для любого А1,А2…

8. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы сложения и умножения.

Условной вероятностью события А при условии события В, называется вероятность события А вычисленное в предположении, что событие В имело место.

(А перевёрнутая)i(не равно) j Р(Аi* Аj) = Р(Аi)* Р(Аj)

Определение: А1, А2, ...Аn- независимы попарно, если Р(А1, А2, ...Аn)= Р(А1)* Р(А2)...Р(Аn)

События А1, А2, ...Аn независимы в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятности.

Определение: Р(В) (1-Р(А))=Р(В)* Р(А(с чертой)=Р(А(с чертой)* В)

Р(В)= Р(АВ)+Р(А(с чертой на башке)В)= Р(А)умножить Р(В)+Р(А(с чертой)В) В=АВ+А(с чертой)В

1. Если А и В независимы, то А и В(с чертой), А(с чертой) и В, А(с чертой) и В(с чертой) - независимы.

Замечания: если совместны, значит зависимы

АВ= 0- несовместность событий

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)-событие А и В называются независимыми, если произведение вероятности равно произведению вероятности этих событий.

Р(В/А) = Р(В)

Р(А/В)=Р(А)

Р(АВ)=Р(А1А2...Аn-1)* Р(Аn/А1А2...Аn-1)

Аn=В (обозначим)

Р(А1А2)=А (обозначим)

Док-во: 15.01.13

Р(А1, А2, ...Аn)= Р(А1)* Р(А2/А1) умножить Р(А3/А1А2)* *Р(Аn/А1А2...Аn-1).

(А перевёрнутая) А1, А2, ...Аn теорема: для произвольных событий А1, А2, ...Аn вероятности произведений справедлива следующая формула

правило: Р(АВ)=Р(А)* Р(В/А)=Р(В)

Р(В/А) = Р(АВ):Р(А)

Р(В)не равно 0 Р(А/В)=Р(АВ):Р(В)

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема (ФЛП): Пусть А - это произвольное событие на пространстве элементарных исходов, событие Н1, Н2, ... Нn - составляют полную группу событий (разбитие), тогда справедлива следующая формула: Р(А)= Р (Н1)* Р(А/Н1)+Р(Н2) *Р(А/Н2)+...+Р(Нn)* Р(А/Нn)=знак суммы с верху n

снизу i=1 Р(Нi)* Р(А/Нi)

Вероятности в сумме равны 1

Формула Байеса теорема: А€ ПЭИ€Н1, Н2,..., Нn - полная группа, Р(А) больше 0, тогда

А перевёрнутая i= 1, ..., n.

Р(Нi/А) = Р(Нi)* Р(А/Нi) дробь знак суммы сверху n снизу j=1 Р(Нj) *(А/Нj)

Док-во: Р(АВ)=Р(А)* Р(В/А) = Р(В) *Р(А/В)

Р(В/А)= Р(В) *Р(А/В) дробь Р(А) = применяя ФНП

В=Нi