Метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов (мнк) Нам на мой взгляд наиболее доступно рассказано про данную тему, более понятного изложения я нигде не нашел.

http://www.cleverstudents.ru/mnk.html

14 Билет Критерий Пирсона (хи-квадрат) для числовых и номинальных данных.

Распределение «хи-квадрат» является одним из наиболее широко используемых в статистике для проверки статистических гипотез. На основе распределения «хи-квадрат» построен один из наиболее мощных критериев согласия – критерий «хи-квадрата» Пирсона.

С помощью данного критерия оценивается значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы.

Для применения критерия χ² Пирсона необходимо соблюдение следующих условий: (Условия писать не обязательно, МОЖЕТЕ ПРОСТО ПОЧИТАТЬ)

1. Номинальные или порядковые данные (возможно создание категорий из непрерывных данных).

2. Независимость наблюдений (отбор участников исследования из генеральной совокупности производится независимо друг от друга).

3. Независимость групп (метод нельзя применять для исследований типа «до – после»).

4. Ожидаемое (не фактическое) число наблюдений в любой из ячеек должно быть не менее 5 (или 10) для четырехпольных таблиц. 

5. Доля ячеек с ожидаемым числом наблюдений менее 5 не должна превышать 20 % для многопольных таблиц.

6. Для расчета критерия χ² используются только абсолютные фактические и ожидаемые числа (проценты и доли для расчетов не используются).

Рассмотрим принцип метода с помощью простого примера. Предположим, что проводится проспективное наблюдение (это что-то из медицины) за участниками исследования (когорта из 48 человек), причем у 23 из них имеется изучаемый фактор риска, а у остальных 25 этого фактора риска нет. После определенного времени изучаемый исход наблюдали у 10 человек (43,5 %) из тех, у кого имелся фактор риска, и у 4 человек (16,0 %) из тех, у кого изучаемого фактора риска не было. Результаты исследования можно отобразить в виде четырехпольной таблицы (табл. 1). 

Для ответа на вопрос о наличии статистической взаимосвязи между фактором риска и исходом с помощью критерия χ² следует сначала рассчитать ожидаемое количество наблюдений в каждой из ячеек при условии справедливости нулевой гипотезы об отсутствии взаимосвязи. Таблица 1

	Исход есть (1)	Исхода нет (0)	Всего
Фактор риска есть (1)	10 (А)	13 (В)	23 (А + В)
Фактора риска нет (0)	4 (С)	21 (D)	25 (С + D)
Всего	14	34	48

Ожидаемое количество наблюдений для каждой ячейки рассчитывается путем перемножения сумм рядов и столбцов (маргинальных итогов) с последующим делением полученного произведения на общее число наблюдений. Так, для ячейки А (находится в первом ряду и в первом столбце) ожидаемое число будет равно 23 (итог ряда) · 14 (итог столбца)/48 (объем выборки) = 23 · 14/48 = 6,7. Для ячейки С ожидаемое число будет равно 14 · 25/48 = 7,3. Для оставшихся ячеек эти значения будут равны 16,3 (В) и 17,7 (D). Как видно из расчетов, ожидаемые значения необязательно целые числа. 

Затем рассчитывается значение критерия χ² по формуле:

Где fo –наблюдаемые частоты; fe – ожидаемые частоты.

После подставления чисел в формулу получим:

Затем значение критерия χ² сравнивается с критическими значениями для

(r – 1) · (c – 1) числа степеней свободы по таблицам, которые имеются в большинстве пособий по статистике. Для данного примера число степеней свободы равно (2 – 1) · (2 – 1), то есть 1. Для 1 степени свободы (а значит, для всех четырехпольных таблиц) критическое значение критерия равно 3,841 при уровне значимости 0,05 (ЭТО ИЗ ТАБЛИЦЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ХИ-КВАДРАТА). Наше значение (4,378) превышает критическое, значит, на основании применения критерия χ² Пирсона нулевая гипотеза об отсутствии статистической взаимосвязи между изучаемым фактором риска и исходом может быть отвергнута при критическом уровне значимости 5 %. В целом, чем больше различия между фактическими и ожидаемыми числами в каждой из ячеек таблицы, тем больше будет значение критерия и тем меньше будет значение достигнутого уровня значимости (р). При равенстве ожидаемых и фактических чисел значение критерия будет равно 0, а р = 1.