Описание алгоритма

Для приведения матрицы к треугольному виду, необходимо обнулить все элементы стоящие ниже главной диагонали. Пусть дана матрица  .  Первым действием обнуляем первые элементы 2,3,...,n строки, для этого вычтем из этих строк первую строку умноженную на   соответственно, получим  ,  где  .  Теперь вычтем из 3,4...,n строки вторую строку умноженную на  , этим действием обнуляем вторые элементы этих строк, соответственно, получаем  ,  где b_ij элементы получившиеся в результате этих преобразований. И так далее, пока не получим вид  ,  где b_ij это элементы получившиеся в результате элементарных преобразований, это и есть матрица треугольного вида.

11.

Общий вид системы 

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы;   - свободные члены;   - переменные; 

     Если все   = 0, система называется однородной.

     Матричная запись системы линейных уравнений 

AX = B,

где

12

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

13

Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                                      x +  y - 3z = 2,

                                                    3x - 2y +  z = - 1,

                                                    2x +  y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

 ~  ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

                                                    x + y - 3z = 2,

                                                    -5y + 10z = -7,

                                                           - 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим  x = - 0,7.

14

Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае

15

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородная система линейных алгебраических уравнений

с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

 Ранг r матрицы равен 2, число n неизвестных равно 5, система нетривиально совместна. Размерность пространства решений этой однородной системы равна 3: d = n − I = 5 − 2 = 3.

три линейно независимые решения системы

образуют базис пространства решений системы, т.е. образуют её фундаментальную систему решений.

16

17

18

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

  

 Решение:                                                              

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

.

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

   

    т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

19

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b].

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

 Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = (а ) х b = а х (b ).

Пусть >0. Вектор (ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb ) и ( а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому (a хb )= ахb . Аналогично доказывается при <0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Пусть заданы два вектора а=а_хi +a_yj +a_zk и b =b_xi +b_yj +b_zk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

20

Смешанным произведением векторов   называется число  , равное скалярному произведению вектора   на векторное произведение векторов   и  . Смешанное произведение обозначается  .

Формула вычисления смешанного произведения

Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы   в правом ортонормированном базисе  имеют координаты  ;  ;   соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле

(1.17)

В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:

что и требовалось доказать.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b)•с=(b х с)•а=(с х а)•b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер 

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

 Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc0 . Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

21

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой  , его координаты - буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка   прямой и направляющий вектор  , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.

Теорема. Для прямой 3*x + 8*y – 17 =0 а(3;8) вектор является нормальным.

22

Нормальное уравнение прямой

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а   - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox. 

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле