26 Взаиморасположение двух плоскостей

Углом между двумя плоскостями называется линейный угол двугранного угла = угол между нормалями.

Острый угол

Пусть даны 2-е плоскости:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (2)

Угол между плоскостями 1 и 2 мы будем называть: острый угол между нормалями к этим плоскостям.

Отсюда легко получить условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости параллельны, то n₁ и n₂ коллинеарные, т.е. n₁= λ n₂ или

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = λ

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂-условие параллельности

Условие перпендикулярности:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂=0

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.

27 Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми. Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми. .

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Т: Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой. Таким образом если и - направляющие векторы прямых a и b, а и нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как или , или где t - некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как . Если а ур-ние вида , а прямая b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты(k1,-1) и (k2,-1) соответственно, а условие параллельности этих прямых примет вид

Угловые коэффициенты двух параллельных прямых будут равны(и наоборот). Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида ,

или параметрически заданны , соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты(a_x,a_y) (b_x,b_y) а условие параллельности прямых a и b записывается как   . Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми. Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. где a и b направляющей вектора прямых соответственно.